抽屉原理（ 鸽巢原理、重叠原理、狄利克雷）笔记记录

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

第一抽屉原理：

原理1： 把多于n个(n+k)的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1个，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。

原理2 ：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

第二抽屉原理：

把多于n*k个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中物体有(k+1)个或(k+1)个以上

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Examples:

ex1:

某校五年级有32名学生是在五月份出生，那么其中至少有两名学生的生日是在同一天，为什么？
解法一：五月份有31天，看作是31个抽屉，32名学生看做32个苹果，因为苹果数量多于抽屉数量，根据抽屉原理1，至少有一个抽屉有两个或两个以上的苹果，所以至少有两名学生的生日在同一天。
解法二：使用矛盾法。假设结论不成立，那么5月的31天中，每天过生日的都少于两人，即每天最多1人过生日，那么1*31=31，即5月份过生日的人数最多31人，这与题目中五月有32人过生日产生矛盾，故，至少有两名学生在同一天过生日。

ex2:

在正方形内任意放5点，其中必有两点的距离不大于正方形对角线的一半，为什么？

将正方形分成4个大小相同的小正方形（看成抽屉），对于正方形内任意放的5点（看成苹果），根据抽屉原理可知道，至少有两个点在一个小正方形内，这两点的距离最远时，是两点分别在小正方形的对角顶点上，所以这两点的距离等于或小于小正方形对角线长。因此，必有两点距离不大于正方形对角线的一半。

ex3:

有一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人可以从口袋中随意去2个小球。证明：必须有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样。

本题，可以将两个球的颜色搭配看成是抽屉，则有 红黄，红红，黄黄，那么4个小朋友看成是4个物品

ex4:

某班图书馆有诗歌、童话、画册三类课外读物，规定每位同学最多可以借阅两种不同类型的书。问，至少有几位同学来借图书，即可断定必有两位同学借阅的书的类型相同？

每位同学最多借阅两种不同的书，那么书的种类搭配可是有 C23+3=6种，将其看成是6个抽屉，根据抽屉原理至少7位同学借书，才能保证必定有两位同学借阅的书类型相同。

ex5：

有一个3行10列共（3*10）个方格的长方形，把每个小方格图上红色或黄色，每列有多少种涂法？无论怎样涂，至少有两列的涂色方法相同，为什么？

每列有3格，每格有2种选择，那么每列就是23=8种涂法。
8种涂法就是8个抽屉，10列就是10个苹果，那么至少两列涂色方法相同(物品数量>抽屉)

ex6:

从一列数1、5、9、13、。。。、93、97中，任取14个数，证明：其中必有两个数的和等于102

（97-1）/4+1=25个数
先考虑如何作抽屉，25个数可以分13组（13个抽屉）：
{1},{5,97},{9,93},…….{49,53}从25个数中任取14个数，也就是从13组中任取14个数，必有两个数在同一组中，同一组中的两个数的和必为102.

ex7:

袋子里有红、黄、黑、白珠子足够多，闭上眼睛要想摸出颜色相同的6粒珠子，至少要摸出几粒珠子，才能保证达到目的？

分析：摸的珠子应多于4种颜色的5倍(k+1=6 k=5)
解一：把4种颜色看成4个抽屉，袋子里的珠子看作苹果，根据抽屉原理二，取出的珠子数多于4*5粒，就必有6或6粒以上的珠子颜色相同。所以至少摸出21粒珠子，才能保证有6粒珠子颜色相同。

解二：根据极端原理，从最不利的情况考虑，假设每种颜色的珠子都摸了5颗，一共摸了4*5=20颗，那么只要再摸1颗，不管是什么颜色，都必有6颗珠子颜色相同。所以至少摸出21粒珠子，才能保证6粒珠子颜色相同。

扩展：
http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/8506306
http://blog.csdn.net/crazyhacking/article/details/8080469