Cpp环境【Usaco2007 Jan】【CQYZOJ1432】解题
来源:互联网 发布:linux-mint 搜狗输入法 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 05:06
【问题描述】
过去的日子里,农夫John的牛没有任何题目。可是现在他们有题目,有很多的题目。 精确地说,他们有 P 道题目要做。并且他们还离开了农场并且象普通人一样找到了工作,他们的月薪是M 元(上个月的工资在下月初发放)。
他们的题目是一流的难题,所以他们得找帮手。帮手们不是免费的,但是他们能保证在一个月内作出任何题目。每做一道题需要两笔付款:第一笔A_i(1 <= A_i <= M) 元在做题的那一个月初支付,第二笔B_i元(1 <= B_i <= M)在做完后的下一个月初支付。 每一个月牛们用上一个月挣的钱来付款。牛没有任何存款意识,所以每个月的节余都会拿去买糖吃掉。
因为题目是相互关连的,它们必须按顺序解出。 比如,题目3必须在解题目4之前或同一个月解出。
找出牛们做完所有题目并支付完所有款项的最短月数。
【输入格式】
第一行: M 和 P;
第2…P+1行: 第i行包含A_i和B_i, 分别是做第i道题的预先付款和完成付款.
【输出格式】
第一行: 牛们做完题目并付完帐目的最少月数.
【输入样例】
100 5
40 20
60 20
30 50
30 50
40 40
【输出样例】
6
【样例解释】
【数据范围】
1 <= P <= 300
1 <= M <= 1000
【传送矩阵】
CQYZOJ p1432 传送矩阵
【思路梳理】
是不是贪心的既视感?应该来说所有人的第一反应都应该是贪心算法:思考最优值,似乎可以将所有的problem尽可能地往前排,使得完成所有问题的时间尽可能的短。
但是如此一来会产生漏洞,考虑如下的一组数据:
7 3
2 5
2 5
5 2
那么按照贪心的思路,显然答案应该如下:
而实际上的最优值是5,说明如下:
发现区别了吗?在解法2中,第2、3个问题是一起完成的,在等待problem1的问题的尾款付清后的下一个月才启动了problem2、problem3的首付。而在解法1中,problem1的尾款、problem2的首付是一起支付的!也就是说,问题在于是否应该等待上一个问题付清尾款(结余更多的钱来同时开启更多个问题)再开始付下面的问题的款。
显然,如果这么考虑的话,我们可以消除掉后效性:同时考虑上一个月的所有尾款和这一个月的所有首付。显然这是一个分组的问题,每一个月同时进行解答的problem属于同一个组,那么可以设计如下的状态函数&状态转移方程:
状态函数d[i][j]=解答前i个problem且最后一次连续进行j个problem的解答所需要的最小月数
状态转移方程:
1.在前i~j件事情付清尾款当月付j个项目的首款:d[i][j]=min{d[i-j][x]+1 | sumb[j-1-x+1][j-1]+suma[j][i]<=pay}
2.在前i~j件事情付清尾款后的一个月付j个项目的首款:d[i][j]=min{ d[i-j][x]+2 | sumb[j-1-x+1][j-1]<=pay && suma[j][i]<=pay }
笔者简单解释一下:
假设我们现在已经完成了i-j个problem的解答(上一个月同时付了x个problem的首款),现在要付连续j个problem的首款。在本月结束时,我们要保证前i个程序都已经在解答中(或者已经解出)且本月进行了j个解答,那么截止本月初付过前x个problem的尾款后,总共是完成了i-j个problem;本月要完成的问题的编号是从i-j+1一直到i,那么我们就可以推出,上一个月要完成的问题的编号为i-j-x+1到i-j。按照我们上面分析的,我们有两种选择:
1.同时付清上一组x个problem的尾款和这一组j个problem的首付;
2.在上一组x个problem的尾款付清后,进行j个problem的首付。
设suma[i][j]、sumb[i][j]分别为首付前缀和尾款前缀和,分别表示第i个问题至第j个问题的首付之和、第i个问题至第j个问题的尾款之和。
无论如何,都需要保证这个月的结余必须为正数、且下一个月将要付清的本月尾款必须也不能超过工薪(如果大于了工薪,那么本月或下一个月奶牛就破产了=_+)。
【Cpp代码】
#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#define maxn 305#define maxpay 1005#define inf 605using namespace std;int pay,n,first[maxn],second[maxn],d[maxn][maxn];int suma[maxn][maxn],sumb[maxn][maxn];//前缀和 void dp(){ for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=n;j++) d[i][j]=inf; d[0][0]=2;//注意一个小细节,只要问题不止1个,那么我们就只能从第2个月开始付款(第一个月的工资在第二个月月初才发到奶牛手中,所以边界至少是d[0][0]=2 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++)if(suma[i-j+1][i]<=pay && sumb[i-j+1][i]<=pay)//既不能在本月交不起首付也不能在下个月交不清尾款 { int t1=inf,t2=inf;//两种选择 for(int x=0;x<=i;x++)//循环,假设上一组有x个problem { if(sumb[i-j-x+1][i-j]+suma[i-j+1][i]<=pay) t1=min(t1,d[i-j][x]+1); if(sumb[i-j-x+1][i-j]<=pay && suma[i-j+1][i]<=pay) t2=min(t2,d[i-j][x]+2); } d[i][j]=min(t1,t2);//两者取最优,局部最优解是全局最优解 } int ans=inf; for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,d[n][i]); cout<<ans;//最后一次可以同时完成任意个problem只要不破产}int main(){// freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&pay,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&first[i],&second[i]); for(int i=1;i<=n;i++)//计算前缀和 for(int j=i;j<=n;j++) suma[i][j]=suma[i][j-1]+first[j],sumb[i][j]=sumb[i][j-1]+second[j]; if(n) dp(); else printf("0"); return 0;}
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