BZOJ1977 (严格)次小生成树

(同步个人博客 http://sxysxy.org/blogs/30 到 csdn)

题目见http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1977 权限题不过还可以在http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=2453 提交

求一张无向图的严格次小生成树，严格次小就是权值之和严格小于最小生成树。

首先构造最小生成树，然后尝试用不在最小生成树里的边替换掉最小生成树中的某条边，得到新的生成树，取其权值和最小值。我一开始随手写了个kruskal求最小生成树，然后树链剖分+线段树维护树链上的最大值，之后对于每条不在最小生成树的边e，当e.value > e.from到e.to树链上权值最大边的权值时，用e替换e.from到e.to树链上权值最大的边，依次进行这样的操作，最后得到权值最小的生成树为答案。感觉还是很水很水的。

然而WA了 QAQ

经过Fmuckss 神犇的指导，才忽然明白，用Kruskal求到的虽然的确是最小生成树，但得到并不是唯一的最小生成树(也有可能存在其他形态但权值和也是最小值的最小生成树)。于是试图替换这个不是唯一的那个最小生成树就WA了。

但是难道真的要枚举出来所有最小生成树的形态吗?显然会TLE的。

然后看了下cojs上某神犇(qaq我不认识)的代码，豁然明朗:维护树链的线段树不仅维护区间最大值，同时再维护区间第二大值。这样还是刚才的套路，只是最后在尝试替换最小生成树里面的边时，如果用来替换的边e的权值与原来e.from, e.to上树链权值最大边的权值相等时，应该替换[e.from, to]上权值第二大的边。这就解决问题了。

这个题要用long long啊要用long long...

代码:(在cojs与bzoj上都ac辣):

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <stdarg.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <list>#include <vector>#include <set>using namespace std;struct edge{    int from, to;    int value;    bool intree;    bool operator<(const edge &oe) const    {        return value < oe.value;    }};#define MAXN 100022#define MAXM 300012edge edges[MAXM];int uniset[MAXN];int pa(int x){    return x == uniset[x]?x: uniset[x] = pa(uniset[x]);}long long maketree(int n, int m){    int cnt = 0;    for(int i = 1; i <= n; i++)        uniset[i] = i;    long long tot = 0;    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        edge &e = edges[i];        int a = pa(e.from);        int b = pa(e.to);        if(a != b)        {            tot += e.value;            uniset[a] = b;            e.intree = true;            cnt++;            if(cnt == n-1)return tot;        }    }    return tot;}vector<int> G[MAXN];int top[MAXN];int deep[MAXN];int parent[MAXN];int son[MAXN];int size[MAXN];void dfs1(int u, int f, int d){    parent[u] = f;    size[u] = 1;    deep[u] = d;    son[u] = 0;    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)    {        int to = G[u][i];        if(to != f)        {            dfs1(to, u, d+1);            size[u] += size[to];            if(size[to] > size[son[u]])                son[u] = to;        }    }}int has[MAXN];int hasid = 1;void dfs2(int u, int tp){    top[u] = tp;    has[u] = hasid++;    if(!son[u])return;    dfs2(son[u], tp);    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)    {        int to = G[u][i];        if(to != parent[u] && to != son[u])            dfs2(to, to);    }}//线段树维护两点之间权值最大值int val[MAXN];struct node{    int l, r;    int ls, rs;    int maxv;    int secv;}ns[MAXN<<1];int root = 1;int last = root;void pushup(int c){    if(c)    {        node &d = ns[c];        d.maxv = max(ns[d.ls].maxv, ns[d.rs].maxv);        if(ns[d.ls].maxv < ns[d.rs].maxv)            d.secv = max(ns[d.rs].secv, ns[d.ls].maxv);        else if(ns[d.ls].maxv > ns[d.rs].maxv)            d.secv = max(ns[d.rs].maxv, ns[d.ls].secv);        else            d.secv = max(ns[d.ls].secv, ns[d.rs].secv);    }}int build(int l, int r){    int cur = last++;    node &d = ns[cur];    d.l = l;    d.r = r;    int m = (l+r)>>1;    if(l == r)    {        d.maxv = val[l];        d.secv = -0x6eafbae;        return cur;    }    if(l <= m)    {        d.ls = build(l, m);        d.rs = build(m+1, r);        pushup(cur);        return cur;    }else        return 0;}int querytree(int c, int l, int r, int v){    if(!c)return -1;    node &d = ns[c];    if(d.l == l && r == d.r)return d.maxv == v? d.secv:d.maxv;    else if(l >= ns[d.rs].l)return querytree(d.rs, l, r, v);    else if(r <= ns[d.ls].r)return querytree(d.ls, l, r, v);    else return max(querytree(d.ls, l, ns[d.ls].r, v), querytree(d.rs, ns[d.rs].l, r, v));}int querymax(int u, int v, int w){    int ans = -1;    int t1 = top[u], t2 = top[v];    while(t1 != t2)    {        if(deep[t1] < deep[t2])        {            swap(t1, t2);            swap(u, v);        }        ans = max(ans, querytree(root, has[t1], has[u], w));        u = parent[t1];        t1 = top[u];    }    if(u == v)return ans;    else    {        if(deep[u] < deep[v])swap(u, v);        ans = max(ans, querytree(root, has[son[v]], has[u], w));        return ans;    }}int nexte[MAXN];  //保存在最小生成树里面的边，加快速度int main(){    //freopen("secmst.in", "r", stdin);    //freopen("secmst.out", "w", stdout);    int n, m;    scanf("%d %d", &n, &m);    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        edge &e = edges[i];        e.intree = false;        scanf("%d %d %d", &e.from, &e.to, &e.value);    }    sort(edges+1, edges+m+1);    //构造最小生成树    long long mtreev = maketree(n, m);    int pn = 1;    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        edge &e = edges[i];        if(e.intree)        {            G[e.from].push_back(e.to);            G[e.to].push_back(e.from);            nexte[pn++] = i;        }    }    //剖分    dfs1(1, 0, 0);    dfs2(1, 1);    //建线段树    for(int i = 1; i < pn; i++)    {        edge &e = edges[nexte[i]];        if(deep[e.from] > deep[e.to])            val[has[e.from]] = e.value;        else            val[has[e.to]] = e.value;    }    build(1, hasid-1);    //找次小生成树    long long ans = 0x7fffffffffffffff;    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        edge &e = edges[i];        if(!e.intree)        {            long long tmp = e.value - querymax(e.from, e.to, e.value);            ans = min(tmp, ans);        }    }    printf("%lld\n", mtreev + ans);    return 0;}