欧拉回路

问题描述：给定一个无向图，是否存在这样一条路线：从无向图任意一个结点出发，遍历图的每条边恰好一次。若存在，则称这条路线为欧拉道路（因为它是由大数学家欧拉首先提出并给出完美的解答）。

解决思路： 在欧拉道路中，除起点和终点外，其他节点的进度和出度是相等的，即其他节点的度数为偶数。我们把一个节点度数为奇数的节点称为奇点。而在欧拉道路中，只可能存在0个或2个奇点，不可能存在1个奇点。

奇点数为2：

奇点数为0,也称欧拉回路:

推广：
有向图中的欧拉道路：在忽略边的方向后，有向图必须是连通的。
存在欧拉道路的充分条件：最多只能有两个点的入度不等于出度，而且，起点的出度恰好比其的入度大1，终点的入度比其出度恰好大1.

寻找欧拉道路或欧拉回路的算法，逆序打印路径，引用自刘汝佳《算法竞赛入门经典》第六章：

void eluer(int u){  for (int v=0;v<n;v++ ){    if(grid[u][v] && visited[u][v]){      visited[u][v] = visited[v][u] = 1; // 有向图中改为  visited[u][v]=1 即可      eluer(v);      printf("%d  %d\n", u, v);    }  }}

如何判断有向图和无向图是否存在欧拉道路和欧拉回路？

根据图的连通性和度数。图的连通性判断可用并查集和DFS判断。

例题 Play on Words, Uva 10129

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1070
类似于成语接龙：
输入n个单词，是否可以把所有这些单词排成一个序列，使得每个单词的第一个字母和上一个单词的最后一个字母相同，如 acm->malform->mouse.

// 题意：输入n个单词，是否可以排成一个序列，使得每个单词的第一个字母和上一个单词的最后一个字母相同// 算法：把字母看作结点，单词看成有向边，则有解当且仅当图中有欧拉路径。注意要先判连通#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <map>#include <queue>#include <set>#include <string>#include <vector>using namespace std;#define LL long longconst int maxn = 1000 + 5;int parent[256];// 并查集int findset(int x) {  // 更新parent[x] 的值  return parent[x] != x ? parent[x] = findset(parent[x]) : x;}int used[256], degrees[256];  // 是否出现过：度数int main() {//  freopen("/Users/yuxiao/XcodeProject/graph/graph/in", "r", stdin);//  freopen("/Users/yuxiao/XcodeProject/graph/graph/out", "w", stdout);  int T, t;  cin >> T;  t = 1;  while (T--) {    int n;    char word[maxn];    cin >> n;    memset(used, 0, sizeof(used));    memset(degrees, 0, sizeof(degrees));    for (int ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) {      parent[ch] = ch;  //初始化并查集    }    int connected = 26;  //连通块的个数    for (int i = 0; i < n; i++) {      scanf("%s", word);      char head_letter = word[0];      char tail_letter = word[strlen(word) - 1];      degrees[head_letter]++;  //相关字母的入度+1      degrees[tail_letter]--;  //相关字母的出度-1      used[head_letter] = used[tail_letter] = 1;      int root1 = findset(head_letter);      int root2 = findset(tail_letter);      if (root1 != root2) {        parent[root1] = root2;  //合并        connected--;  // 由于并查集实现了合并，因此连通块减一      }    }    vector<int> res;    for (int ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) {      if (!used[ch]) {        connected--;  //没出现过的字母      } else if (degrees[ch] != 0) {        res.push_back(degrees[ch]);      }    }    bool ok = false;    // 前提条件：有向图去掉箭头的指向后是连通的，即connected ==1    // res 最后剩下的点集要么为空，要么只有两个点，一个度数为1，另一个为-1    if (connected == 1 &&        (res.empty() || (res.size() == 2 && (res[0] == 1 || res[0] == -1)))) {      ok = true;    }    if (ok) {      printf("Ordering is possible.\n");    } else {      printf("The door cannot be opened.\n");    }  }  return 0;}