2016.09.10【初中部 NOIP提高组 】模拟赛C

T1：题目大意：给你n个1，m个0组成的序列，如何排列n+m位之间1,0的顺序，使得到任意位时1的个数一定比0的个数多，求出所拥有的方案数。

这道题一开始理解题意花了一个钟，一开始打了dp，打了递归，打了...于是到9：00才真正理解了题意。

如果不易理解题意的话，可以看如下一个图：

在这个平面坐标系上从0,0开始走到n,m，走道的路径中任意位置(x,y)不能走到x>y的地方即可计入答案。

对于总共有n+m个数字组成的序列，那么一定要选m个数。则方案数为C(n+m,n).

而不符合题目要求的序列则是C(n+m,n+1).

至于为什么，这里简单证明.

对于一个符合题目要求的序列，一定有且仅有一个对应的i表示到这个序列的第i位时1的个数比0的个数多1（除相等外）.

那么对于这个符合的序列，把所有数字取反，则变成了一个不符合要求的序列.

这个不符合要求的序列很明显方案数就是C(n+m,n+1）.

其余一些1的个数比0个数大于1的情况，也一定在C(n+m,n+1)的范围内。

那么对于答案就是

=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)

=[(n+m)!/n!*m!]  -  [(n+m)!/(n+1)!*(m-1)!]

=[n+m!*(n+1)/(n+1)!*m!] - [(n+m!)*m/(n+1)!*m!]

=((n+m)!*(n+1)-(n+m)!*m)/((n+1)!*m!)

=((n+m)!*(n+1-m))/((n+1)!*m!)

=(n+m)!/((n+1)!*m!)*(n-m+1)

=((n+2)*(n+3)*(n+4)*……*(n+m))/(m!)*(n-m+1)

则可以直接对这个最候化简的算式做一遍高精度乘法，在除一遍低精度，最后乘一个(n-m+1)即可。

当然，如果纯粹这么做的话需要大概700ms，则我们可以做乘法时直接做除法，除法从1除起，则一直乘除时一定不会出现不能整除的情况。这样子做后大概只用不到0.2s即可绿了。

现在，对于低精度除法写一番论述。

对于被除数a数组，除数x

则过程如下：

procedure division(x:longint);beginr:=0;for i:=len downto 1 do//对于a数组的长度lenbegind:=(a[i]+r) mod x;//上次剩余+本次拥有 再除以 x 的余数即为本次余数。a[i]:=(a[i]+r) div x;//上次剩余+本次拥有 再除以 x 的数为本次除得的数。r:=d*10000;//本次剩余等于本次余数乘以10000 因为是压4位储存的。end;while (a[len]=0) and (len>1) do dec(len);end;

T2：题目大意：给你一个正整数N，求一个最小的正整数m，使得n*m所表示的十进制数中的每一位都是由‘0’和‘1’构成的。

分析：

很明显，可以bfs找个“构成”的数，然后做一遍题目要求的条件看看是否符合。

但这样子，因为qword的范围，只能做到20位，对于20位以后的数就难求了。

所以，如果，如果你想求的话，可以把这个“构成”的数看成一个二进制数，然后枚举这个二进制数对应的十进制数，这样子的话就可以做到63位了。

虽然事实证明，虽然可以求这么多位，但是事实上是求不了的，炸时间啊。。。

但，毕竟这道题除了这两种解法好像没有别的什么解法了吧。。。

T3：题目大意：在一个n*n的矩阵当中，有m个地方是不能放雕像的，然后，让你放n个雕像，使得这n个雕像只在能放置的地方放，且一行一列只能有一个雕像，问你总共有多少种方案？

因为M比较小，所以转化思路，改成用——所有方案数-不合法方案数=合法方案数。

那么不合法方案数怎么算呢？

假设有一个雕塑放在了不能放置的地方，（有r[1]种）则其余可能的N-1个雕像任意放位置，则有r[1]*(n-1)!种不合法方案。

但在这不合法的方案中却有减多的，例如我放在第一个不能放的位置，有(n-1)!种不能放的，然后放第二个不能放的位置，又有(n-1)!种，但在这(n-1)!种里一定有重复的，一定有同时放在两个雕像位置所重复的，所以我们要加上一个r[2]*(n-2)!，但是加上这个数后很明显又有加多的，所以要再减r[3]*(n-3)，然后又会减多，再加上去，以此类推，加减m次即为不合法方案的答案了。