【vjios1488】【分组背包+dp优化】路灯改建计划

【问题描述】  
  
　　在华师一的敏行路上，新建了若干漂亮的路灯，这给同学们晚上的出行带来很大的方便。但是，问题随之出现了。


　　一天晚上，OI组的FHH 同学正往校门外走，忽然眼前一片漆黑，于是直接把眼镜都摔掉了，再也找不到。后来FHH 同学从学校管理处了解到昨晚路灯突然熄灭是因为电路不堪重负，导致空气开关跳闸。


　　善于思考的FHH 同学考虑将路灯进行改建，以避免再次出现类似的问题。FHH同学仔细了解每盏路灯的耗电量a[i]与照明度z[i]，已知共有 N 盏电灯，并且每盏电灯都可能有不同的耗电量与照明度，现在的问题是要把这 N 盏电灯分为 M 组，新分出的每组灯的耗电量（即是该组所有打开电灯的耗电量之和）不能超过该组的电灯数目的 T 倍，在满足这样的前提下使得照明度尽可能的大，最后算出 M 组的最大照明度的和。由于每组耗电量的限制，该组中的某些电灯可能不被使用，但是仍然应该算作该组灯的数目。特别注意的是电灯按顺序给出，只能把相邻的几盏灯分在一组。


　　由于计算较为复杂，FHH 同学经过反复的计算仍然不能确定结果，现在就请你为他编写一个程序来解决这个问题。 
 
    
 【输入格式】  
  
　　第一行3个整数，分别表示N、M 和 T。
　　接下来的N行，每行两个整数，第i+1行表示a[i]和z[i]。


 
    
 【输出格式】  
   
　　一个整数，表示最大照明度。
 
    
 【输入样例】   
   
5 2 2
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5


 
    
 【输出样例】  
   
10
 
    
 【数据范围】  
   
　　对于70％的数据，保证有：2<=N<=80，1<=M<=35，1<=T，a[i]，z[i]<=35；

　　对于全部的数据，保证有：2<=N<=160，1<=M<=50，1<=T，a[i]，z[i]<=50。

        思路:由于题目明确的指出了分多少组,故设状态函数f(i,j)表示把前i盏灯分为j组所能得到的最大照明度。

考虑最后一次分组,最后一组可以有1盏灯,2盏灯,3盏灯.......i-j-1盏灯(因为要分出j-1组至少要有j-1盏灯)

容易得到f(i,j)=max{f(i-k,j-1) | 1<=k<=i-j-1}+g[i-k+1][i];//其中g[i-k+1][i]表示把第i-k+1盏灯到i盏灯中选择一些点亮所能得到的最大照明度。

分析每一盏灯的选择,有选和不选,是典型的0/1背包问题。

代码如下

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cctype>#include<iostream>#include<set>#include<map>#include<vector>#include<cstdlib>using namespace std;int n,m,t;const int maxn = 165;int f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],a[maxn],z[maxn],d[8005];/*f(i,j)表示把前i盏灯分成j组的最大照明度f(i,j)=max{f(i-k,j-1) | 1<=k<=i-j-1}+g[i-k+1][i];f(0,j)=0;f(i,1)=g[1][i];*/int calc(int x,int y){memset(d,0,sizeof(d));int C=t*(y-x+1);for(int i=x;i<=y;i++)for(int k=C;k>=a[i];k--){int t1=0,t2=0;t1=d[k-a[i]]+z[i];//选t2=d[k];//不选 d[k]=max(t1,t2);}return d[t*(y-x+1)];}void ready(){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j++)g[i][j]=calc(i,j);}void initial(){for(int i=1;i<=n;i++)f[i][1]=g[1][i];}void dp(){ready();//计算组权值initial();//边界for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){int tmp=0;for(int k=1;k<=i-j+1;k++){int l=g[i-k+1][i];tmp=max(f[i-k][j-1]+l,tmp);}f[i][j]=tmp;}cout<<f[n][m]<<'\n';}int main(){//freopen("light.in","r",stdin);//freopen("light.out","w",stdout);scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&a[i],&z[i]);}dp();return 0;} 

        时间复杂度分析:O(n*n*n*n*T)约等于32768000000次计算(当然实际上没这么多),需要优化~

分析原来的代码,在最后计算f的时候不能优化了,所以只能在组权值计算时看是否能少一重循环。

注意g[i][j]的含义,g[i][j]表示a[i]....a[j]中选择一些路灯点亮的最大照明度的值,其实也等价于前j个路灯能凑成的最大照明度的值(但是要把a[i]之前的路灯看作是照明度和耗电量均为0)

所以可以预先处理出前j个路灯的能凑成的最大照明度,第二重循环就只用查表中的值就行了。

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cctype>#include<iostream>#include<set>#include<map>#include<vector>#include<cstdlib>using namespace std;int n,m,t;const int maxn = 165;int f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],a[maxn],z[maxn],d[maxn][8005];//注意这里的d的计算并没有用滚动数组而是变回了二维,因为这样便于查表/*f(i,j)表示把前i盏灯分成j组的最大照明度f(i,j)=max{f(i-k,j-1) | 1<=k<=i-j-1}+g[i-k+1][i];f(0,j)=0;f(i,1)=g[1][i];*/void calc(int x){memset(d,0,sizeof(d));int C=t*(n-x+1);for(int i=x;i<=n;i++)for(int k=0;k<=C;k++){int t1=0,t2=0;if(k>=a[i])t1=d[i-1][k-a[i]]+z[i];//选t2=d[i-1][k];//不选 d[i][k]=max(t1,t2);}}void ready(){for(int i=1;i<=n;i++){calc(i);//预处理for(int j=i;j<=n;j++){int C=t*(j-i+1);g[i][j]=d[j][C];//查表填组权值}}}void initial(){for(int i=1;i<=n;i++)f[i][1]=g[1][i];}void dp(){ready();//计算组权值 initial();//边界for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){int tmp=0;for(int k=1;k<=i-j+1;k++){int l=g[i-k+1][i];tmp=max(f[i-k][j-1]+l,tmp);}f[i][j]=tmp;}cout<<f[n][m]<<'\n';}int main(){//freopen("light.in","r",stdin);//freopen("light.out","w",stdout);scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&a[i],&z[i]);}dp();return 0;} 

有一种牺牲空间换取时间的感觉~