线性代数Lec03：矩阵乘法和逆

一 矩阵乘法

矩阵乘法可以有多种方法解释
假设矩阵Am∗n∗Bn∗p=Cm∗p

1. 传统rows(A)*cols(B)

对于矩阵C34求解方式如下：

C34=A31B14+A32B24+....+A3nBn4

整理为：

C34=∑k=1nA3kBk4

2. A*cols(B)

对于C中的每一列都可以看作由A中各列的线性组合，B表示如何组合；
将B视为多个列排在一起，抽取B中每一列，A乘以该列得到C中对应的列。
拆开来看即为：

AmnBn1=Cm1

3. rows(A)*B

同理，C中的行视为B中各行的线性组合。

取A中某一行，乘以B，即得到C中对应的行。

4. sum of cols(A)*rows(B)

举例如下：

⎡⎣⎢ 2 3 4789⎤⎦⎥[ 1 060]=⎡⎣⎢ 2 3 4⎤⎦⎥[ 16]+⎡⎣⎢ 7 8 9⎤⎦⎥[ 00]=⎡⎣⎢ 2 3 4121824⎤⎦⎥

5. 分块矩阵

[ A1 A3A2A4][ B1 B3B2B4]=[ A1B1+A2B3 .........]

二 矩阵求逆

2.1 可逆矩阵

对于方阵A，若矩阵可逆，那么左乘逆等于右乘逆；

A−1A=I=AA−1

若矩阵可逆，即非奇异矩阵。
求解下列矩阵的逆矩阵：

[ 1 237]

应用Guass-Jordan（solve 2 equations at once）
将该矩阵与单位矩阵形成增广矩阵，通过消元法使得左侧该矩阵变为单位矩阵。

2.2 不可逆矩阵

不可逆矩阵，奇异矩阵；

Q1: 不使用行列式，思考为什么不可逆矩阵没有可逆解；

给定矩阵：

[ 1 236][ a bcd]=[ 1 001]

思考矩阵乘法可以视为A中各列的线性组合，因此对于C中的列也应该保持变量之间的比例关系，而不是1，0.

Q2: 什么非零向量能使Ax=0

[ 1 236][ x1 x2]=[ 0 0]

整理为：

x1[ 1 2]+x2[ 3 6]=[ 0 0]

即可得到：

x1+3x2=0

因此可以发现不可逆矩阵各列之间存在线性组合，通过非零向量可以得到零向量。