排序算法之堆排序

同样的先上这张图

下面看一种较为复杂的选择排序 ——堆排序：

首先来看一下什么是堆，堆用一个一维的数组模拟二叉树的结构，即堆数组的第一个元素为第二、第三个元素的父结点，即第i(i从0开始)个元素是第2i+1和第2i+2个元素的父结点，由此我们可以计算最后一个结点的父结点，设为j。由n=2j+1（n为偶数）和n=2j+2（n为奇数）得j=(n-1)/2,n是奇数；j=(n-2)/2,n是偶数。

知道了堆的定义之后我们用堆来实现排序，首先我们构建一个小顶堆（父结点比子结点小），然后每次弹出根结点，重新调整堆，直到堆为空。

因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。

对于第一个问题，我们知道最后一个结点的父结点是floor(n/2),所以只需要对以该结点为根结点的树进行筛选，使其成为小顶堆。之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

对于第二个问题，调整小顶堆的方法：

1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.

4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.

5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

C++代码

/** 堆排序* 先建立一个小顶堆* 然后弹出堆顶元素，再调整堆为小顶堆* O(nlogn)* O(1)* 不稳定*/template <typename T>void SortHelp<T>::heapSort(T l[], int length){//由n=2j+1或n=2j+2得，j=(n-1)/2,n是奇数；j=(n-2)/2,n是偶数。//而n是偶数时，(n-1)/2 == (n-2)/2//建立小顶堆(从大到小排序）for (int i = length - 1; i > 0; i--){if (l[i] < l[(i - 1) / 2]){l[i] += l[(i - 1) / 2];l[(i - 1) / 2] = l[i] - l[(i - 1) / 2];l[i] = l[i] - l[(i - 1) / 2];}}//弹出堆顶元素放到最后for (int i = length - 1; i > 0; i--){//将堆顶元素与堆底元素交换l[i] += l[0];l[0] = l[i] - l[0];l[i] = l[i] - l[0];//调整堆for (int j = i - 1; j > 0; j--){if (l[j] < l[(j - 1) / 2]){l[j] += l[(j - 1) / 2];l[(j - 1) / 2] = l[j] - l[(j - 1) / 2];l[j] = l[j] - l[(j - 1) / 2];}}}}

设树深度为k，。从根到叶的筛选，元素比较次数至多2(k-1)次，交换记录至多k 次。所以，在建好堆后，排序过程中的筛选次数不超过下式： 

                                

而建堆时的比较次数不超过4n 次，因此堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlogn )。

由于不需要额外的辅助空间，其空间复杂度为O(1)，即常量复杂度。

由于堆在筛选过程中可能打乱顺序，所以堆排序不是稳定的。