September 10th 模拟赛C T3 雕塑 Solution

空降题目处(外网)
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空降题目处(内网)
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Description

Wcyz为了迎接百年校庆，美化校园，请了校友笨笨将n座雕塑，准备安置在校园内，整个校园可以抽象成一个n*n的大网格，每个1*1网格最多只能安置一座雕塑，但是某些1*1的网格上恰好是一个食堂或湖泊，这些网格是不能安置雕塑的，每个雕塑的造型相同，这样同一种安置方案中交换排列都算一种。任意雕塑在同一行或同一列是不合法的方案。
学校想知道有多少种安置方案，笨笨想从中选择最好的一种方案，笨笨想请你告诉他方

Input

第一行，两个整数n，m（n<=20,m<=10），用空格隔开，n表示n*n的大网格，m表示不能安置雕塑的位置
第二行至m+1行，每行两个数x，y，用空格分开，表示坐标（x,y）的1*1 的网格上不能安置雕塑。

Output

一个数，方案种数（方案种数<=2^63-1）

Solution

看到数据范围n≤20,m≤10,方案种数≤263−1.由于方案总数较大,若采用单纯的搜索算法,很难做到不超时.其实观察一下数据规模中的n和m,m≤10,这是一条重要的信息,m比n×n少得多,那么雕塑“安置在禁区内的方案数”就必然比“安置在禁区外的”方案数少得多,”安置在禁区内的雕塑仍可以用dfs,但是必须搞清一个问题:安置在禁区内的方案总数与求不在禁区的方案数又有什么关系呢,这就恰好就是容斥原理中淘汰原则的十分巧妙的运用.
再来进行进一步的分析：用Rk表示把k个雕塑放在了n×n的方格上，并且这k个雕塑都处在禁区放置位置上的方案数，根据容斥原理的推论n个雕塑都安置在非禁区内的方案数等于:
n!−R1×(n−1)!+R2×(n−2)−R3×(n−3)!+⋯+(−1)k×Rk×(n−k)!+⋯+(−1)n×Rn
即:
Ans=∑nk=0(−1)k×Rk×(n−k)!
R0=1

Code

C++

#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;long long ans,n,m,t[30],r[30],x[30],y[30],ni[30];bool map[30][30],p[30],q[30];void Queen(int t,int l);int main(){    scanf("%lld%lld",&n,&m);    for (int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);        map[x[i]][y[i]]=true;    }    Queen(1,0);    t[0]=t[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++)        t[i]=t[i-1]*i;    for (int i=0;i<=n;i++)    {        if (i%2==0)            ans+=r[i]*t[n-i];        else            ans-=r[i]*t[n-i];    }    printf("%lld",ans);}void Queen(int t,int l){    r[t-1]++;    bool j,k;    if (t>n)        return;    for (int i=l+1;i<=m;i++)        if ((!p[x[i]])&&(!q[y[i]]))        {            j=p[x[i]];            k=q[y[i]];            p[x[i]]=q[y[i]]=true;            Queen(t+1,i);            p[x[i]]=j;            q[y[i]]=k;        }}

Pascal

var        n,m,i:longint;        s,ans:int64;        pd:array[1..20,1..2] of boolean;        x,y:array[1..20] of longint;        f:array[0..20] of int64;procedure dg(t,sum,h:longint);var        i:longint;begin        if t>sum then        begin                inc(s);                exit;        end;        for i:=h to m do                if (pd[x[i],1]=false) and (pd[y[i],2]=false) then                begin                        pd[x[i],1]:=true;                        pd[y[i],2]:=true;                        dg(t+1,sum,i+1);                        pd[x[i],1]:=false;                        pd[y[i],2]:=false;                end;end;begin        read(n,m);        for i:=1 to m do        begin                read(x[i],y[i]);        end;        ans:=1;        f[0]:=1;        f[1]:=1;        for i:=2 to n do        begin                ans:=ans*i;                f[i]:=ans;        end;        for i:=1 to m do        begin                s:=0;                dg(1,i,1);                if i mod 2=1 then ans:=ans-s*f[n-i] else ans:=ans+s*f[n-i];        end;                                                 write(ans);end.