次小生成树

来源：互联网发布：广州锋泽网络垃圾编辑：程序博客网时间：2024/05/21 11:27

最小生成树的算法想必大家都很了解，主要有kruskal和prim。但如果要求次小生成树(即第二小的生成树)呢？
一种容易想到的方法是枚举删除最小生成树上的边，再求最小生成树。用kruskal这种算法的复杂度为O(n*elog2e)，当图比较稠密时，复杂度接近O(n^3)。
但有一种更简单的方法：先求最小生成树T，枚举添加不在T中的边，则添加后一定会形成环。找到环上边值第二大的边(即环中属于T中的最大边)，把它删掉，计算当前生成树的权值，取所有枚举修改的生成树的最小值，即为次小生成树。

这种方法在实现时有更简单的方法：首先求最小生成树T，然后从每个结点u遍历最小生成树T，用一个二维数组max[u][v]记录结点u到结点v的路径上边的最大值(即最大边的值)。然后枚举不在T中的边(u,v)，计算T- max[u][v] + w(u,v)的最小值，即为次小生成树的权值。显然，这种方法的时间复杂度为O(n^2 + e)。

例：判断生成树的唯一性，唯一则输出权值，不唯一输出Not Unique!(POJ1679)
显然，可以转化为求次小生成树，次小生成树权值=最小生成树，则不唯一。

#include <iostream>#include <algorithm>#include <queue>const int INF = 0x7fffffff;const int MAX = 10001;int n,m;int num;int p[MAX];int max[101][101];struct Edge     //原始图{    int from;    int to;    int w;    bool flag;}e[MAX];struct Tree     //最小生成树{    int to;    int w;    int next;}tree[202];int index[101];struct Node     //生成树的结点{    int seq;    //结点编号    int max;    //从某个点到它的路径中的最大边的长度};bool cmp(const Edge &a, const Edge &b){    return a.w < b.w;}void makeSet(){    for(int i = 0; i <= n; i++)    {        p[i] = i;    }}int findSet(int x){    if(x != p[x])        p[x] = findSet(p[x]);    return p[x];}void addEdge(int from, int to, int w){    tree[num].to = to;    tree[num].w = w;    tree[num].next = index[from];    index[from] = num++;}int kruscal(){    int i,j;    int x, y;    int edgeNum = 0;    int result = 0;    makeSet();    std::sort(e,e+m,cmp);    for(i = 0; i < m; i++)    {        x = findSet(e[i].from);        y = findSet(e[i].to);        if(x != y)        {            edgeNum++;            addEdge(e[i].from,e[i].to,e[i].w);            addEdge(e[i].to,e[i].from,e[i].w);            e[i].flag = true;            p[x] = y;            result += e[i].w;        }    }    return edgeNum == n-1 ? result : -1;}void bfs(int p){    int i,j;    bool used[101];    memset(used,0,sizeof(used));    std::queue<Node> que;    Node now,adj;    now.max = 0;    now.seq = p;    que.push(now);    used[p] = true;    while(!que.empty())    {        Node q = que.front();        que.pop();        for(i = index[q.seq]; i != -1; i = tree[i].next)        {            adj.seq = tree[i].to;            adj.max = tree[i].w;            if(!used[adj.seq])            {                if(q.max > adj.max)                    adj.max = q.max;                max[p][adj.seq] = adj.max;                used[adj.seq] = true;                que.push(adj);            }        }    }}void second_MST(){    int i,j;    int mst = kruscal();    for(i = 1; i <= n; i++)        bfs(i);    int smst = INF;    for(i = 0; i < m; i++)    {        if(!e[i].flag)        {            if(mst + e[i].w - max[e[i].from][e[i].to] < smst)                smst = mst + e[i].w - max[e[i].from][e[i].to];        }    }    if(smst == mst)        printf("Not Unique!\n");    else        printf("%d\n",mst);}int main(){    int i,j;    int cases;    int a,b,w;    scanf("%d",&cases);    while(cases--)    {        scanf("%d %d",&n,&m);        for(i = 0; i < m; i++)        {            scanf("%d %d %d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].w);            e[i].flag = false;        }        num = 0;        memset(index,-1,sizeof(index));        second_MST();    }    return 0;}

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