hdu5875 Function 模运算 + 单调栈

来源：互联网发布：固定资产投资的算法编辑：程序博客网时间：2024/05/21 06:28

题目描述：给定数组A，数组中元素的个数不多于1e5个，现给出函数F(l , r)的定义

给出m( m <= 1e5)次询问，每次询问给出l、r的值，每次输出F（l，r）

思路：首先观察模的三个性质：

①一个数模比它大的数大小不变

②一个数先模a，再模b，如果 a>b，那么模b这一步没什么效果

③a % b <= a/2

证明：若b >= a / 2 , 则 a % b = a - b <= a - a / 2 = a / 2 ;

若b< a / 2 , 假设 a % b = x > a / 2 ; 则有x % b = y < x ，故a % b = y != x 矛盾

综上，a% b <= a / 2 ;

所以，对于任意一次询问，让A[i]只对其后面的第一个比自己小的数k取模，然后再对k后面比k小的第一个数取模，这样最多取模31次，复杂度O（logA[i] * m）不会超时

那么，怎么维护比A[i]小的第一个数k呢？我们开一个数组nt，nt[i]表示第i个后面小于等于A[i]的第一个数的位置，使用单调栈构造nt数组。

首先将a[n]入栈，然后i从n-1到1循环，每次如果a[i]大于等于栈顶的数，就把nt[i]赋值为栈顶数的位置；否则让栈顶的数出栈，考虑下一个栈顶。最后，让a[i]入栈

实现代码如下：

#pragma warning(disable:4786)#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<stack>#include<queue>#include<map>#include<set>#include<vector>#include<cmath>#include<string>#include<sstream>#define LL long long#define FOR(i,f_start,f_end) for(int i=f_start;i<=f_end;++i)#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))#define lson l,m,x<<1#define rson m+1,r,x<<1|1using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const double PI = acos(-1.0);const int maxn = 1e5 + 5;const double eps=1e-6;struct node{    int val , pos ;}st[maxn];int top , a[maxn] ,  nt[maxn] ;int main(){    int T , l , r , n , m ;    scanf("%d",&T) ;    while(T--){        mem(st,0);  mem(nt , 0);        top = 0;        scanf("%d",&n);        for(int i = 1 ; i<= n ; i++){            scanf("%d",&a[i]);        }        node x = { a[n] , n } ;        st[++top] = x ;        nt[n] = -1 ;        for(int i = n - 1 ; i>= 1 ; i--){            int flag = 0;            while(top > 0) {                if(st[top].val <= a[i]){                    nt[i] = st[top].pos ;                    flag = 1 ;                    break;                }                else{                    --top;                }            }            if(!flag)       nt[i] = -1 ;            node x = {a[i] , i } ;            st[++top] = x;        }        scanf("%d",&m);        for(int i = 1 ; i<= m ; i++){            scanf("%d %d",&l , &r);            int cur = nt[l] , ans = a[l] ;            while(cur != -1 && cur <= r && ans){                int mod = a[cur] ;                ans %= mod ;                cur = nt[cur] ;            }            printf("%d\n",ans);        }    }    return 0 ;}

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