最短路径算法--无权最短路径

简介

  输入是一个赋权图：与每条边（v_i，v_j）相联系的是穿越该弧的代价（或称为值）c_i,j。一条路径v₁v₂v₃…v_N的值是，叫做赋权路径长（weighted path length），而无权路径长（unweighted path length）只是路径上的边数，即N-1。

单源路径问题

  给定一个赋权图G=（V，E）和一个特定顶点s作为输入，找出从s到G中每一个其它顶点的最短赋权路径。

  负值圈（negative-cost cycle）：带圈图中圈中的权值有为负值。当它出现在图中时，最短路径问题就是不确定的。

无权最短路径

下图是一个无权图G，使用某个顶点s作为输入参数，我们想要找出从s到所有其它顶点的最短路径。我们只对包含在路径中的边数有兴趣，因此在边上不存在权。显然，这是赋权最短路径问题的特殊情形，因为我们可以为所有的边都赋以权1。一个无权有向图G：

设我们选择s为v₃。此时可以说出从s到v₃的最短路径是长为0的路径。通过考察与s邻接的那些顶点依次类推找出长为1，2，3的路径。把这个信息做个标记，如下：

这种搜索图的方法称为广度优先搜索（breadth-first search）。该方法按层处理顶点：距开始点最近的那些顶点首先被求值，而最远的那些顶点最后被求值。这很像对树的层序遍历（level-order traversal）。

用于无权最短路径计算的表的初始配置：

首先，把从s开始到顶点的距离放到d_v栏中。开始的时候，除s外所有的顶点都是不可达的，而s的路径长为0。p_v栏中的项为簿记变量，它将使我们能够显示出实际的路径。known中的项在顶点被处理以后置为true。最初，所有的顶点都不是known（已知）的，包括开始顶点。当一个顶点被标记为known时，我们就有了不会再找到更便宜的路径的保证，因此对该顶点的处理实质上已经完成。

无权最短路径算法的伪代码：

    void unweighted(Vertex s){    for each Vertex v{    v.dist = INFINITY;//无穷    v.known = false;    }    s.dist = 0;    for(int currDist = 0;currDist < NUM_VERTICES;currDist++){    for each Vertex v     if(!v.known && v.dist == currDist){     v.known = true;     for each Vertex w adjacent to v     if(v.dist==INFINITY){     w.dist = currDist + 1;     w.path = v;     }     }    }        }

由于双层嵌套for循环，因此该算法的运行时间为O(|V|²)。一个明显的低效之处在于尽管所有的顶点早就成为known了，但是外层循环还是要继续，直到NUM_VERTICES-1为止。虽然额外的附加测试可以避免这种情形发生，但是它并不能影响最坏情形运行时间，在以点v₉作为起点的下图中作为输入时，无权最短路径算法的坏情形：

我们可以用非常类似于对拓扑排序所做的那样来排除这种低效性。在任一时刻，只存在两种类型的d_v不等于无穷的unknown顶点，一些顶点的d_v=currDist，而其余的则有d_v=currDist+1。由于这种附加的结构，因此搜索整个的表以找出合适的顶点的做法是非常浪费的。

  一种非常简单抽象的解决方案是保留两个盒子。1号盒将装有d_v=currDist的那些未知顶点，而2号盒则装有d_v=currDist+1的那些顶点。找出一个合适顶点的测试可以用查找1号盒内的任意顶点代替。在更新w（内层if语句块的内部）以后，我们可以把w加到2号盒中。在外层for循环终止以后，1号盒是空的，而2号盒则可转换成1号盒以进行下一趟for循环。

  我们可以使用一个队列把这种想法进一步精化。在迭代开始的时候，队列只含有距离为currDist的那些顶点。当添加距离为currDist+1的那些邻接顶点时，由于他们自队尾入队，因此这就保证它们直到所有距离为currDist的顶点都被处理之后才被处理。在距离currDist处的最后一个顶点出队并被处理之后，队列只含有距离为currDist+1的顶点。因此该过程将不断进行下去。我们只需要把开始的节点放入队列中以启动这个过程即可。

无权最短路径算法的伪代码：

    void unweighted(Vertex s){    Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();    for each Vertex v{    v.dist = INFINITY;    }    s.dist = 0;    q.enqueue(s);        while(!q.isEmpty()){    Vertex v = q.dequeue();    for each Vertex w adjacent to v{    if(w.dist==INFINITY){    w.dist = v.dist+1;    w.path = v;    q.enqueue(w);        }    }    }            }

我们已经假设开始顶点s是作为参数被传递的。再有，如果某些顶点从开始节点出发是不可达的，那么有可能队列会过早地变空。在这种情况下，将对这些节点报出INFINITY（无穷）距离，这是完全合理的。最后known域没有使用；一个顶点一旦被处理它就从不再进入队列，因此它不需要重新处理的事实就意味着被做了标记。这样一来，known域可以去掉。

无权最短路径算法期间数据变化情况（该图还包括对known发生的变化）：

使用与对拓扑排序进行同样的分析，我们看到，只要使用邻接表，则运行时间就是O(|E|+|V|)。