四元数与姿态阵间的关系式推导

—–下文摘自秦永元的《惯性导航》第二版

　　设有参考坐标系R ，坐标轴x 0 、y 0 、z 0  ，坐标轴方向的单位向量为i 0 、j 0 、k 0  。刚体相对R 系做定点转动，定点为O 。取坐标系b 与刚体固联，b 系的坐标轴为x、y、z ，坐标轴方向的单位向量为i、j、k 。假设初始时刻b 系与R 系重合。为了便于分析刚体的空间位置，刚体上取一点A ，转动点O 至该点引位置向量OA ，如下图所示：

　　设刚体以ω=ω x i+ω y j+ω z k 相对 R  系旋转，初始时刻位置向量处于OA=r 经过时间 t 后位置向量处于OA ′ =r ′  。根据欧拉定理，仅考虑刚体在 0 时刻和 t 时刻的角位置时，刚体从A 位置转到A ′  位置的转动可等效成绕轴u （单位向量）转过θ 角一次完成这样，位置向量做圆锥运动，A 和A ′  位于同一圆上，r 和r ′  位于同一圆锥上。
　　下面分析r 和r ′  的关系。在圆上取一点B 使∠AO ′ B=90° ，有上图可得：
　　OO ′ =(r∙u)u 
　　O ′ A=r−OO ′ =r−(r∙u)u 
　　O ′ B=u×O ′ A=u×r−(r∙u)u=u×r 
　　O ′ A ′ =O ′ Acosθ+O ′ Bsinθ=rcosθ−(r∙u)ucosθ+u×rsinθ 
所以
　　r ′ =OO ′ +O ′ A ′ =rcosθ+(1−cosθ)×(r∙u)u+u×rsinθ 
由矢量三重积计算公式:
　　u×(u×r)=u(u∙r)−(u∙u)r=(r∙u)u−r 
即
　　(r∙u)u=r+u×(u×r) 
所以
　　r ′ =rcosθ+(1−cosθ)[r+u×(u×r)]+u×rsinθ=r+u×rsinθ+(1−cosθ)u×(u×r) 
将上式向R 系内投影：
　　r ′R =r R +(u×r) R sinθ+(1−cosθ)[u×(u×r)] R  
记

又根据叉乘关系表达式

记

则
　　(u×r) R =Ur R  
　　[u×(u×r)] R =U∙Ur R  
所以
　　r ′R =r R +Ur R sinθ+(1−cosθ)U∙Ur R =(I+2Usinθ2 cosθ2 +2sin 2 θ2 U∙U)r R  
令
　　D=I+2Usinθ2 cosθ2 +2sin 2 θ2 U∙U 
则有：
r ′R =Dr R  
　　记初始时刻的刚体固联坐标系为b 0  ，由于初始时刻刚体固联坐标系与参考坐标系重合所以r R =r b 0   而在转动过程中，位置向量和 b 系都同刚体固联，所以位置向量和b 系的相对角位置始终不变，即有:
　　r R =r ′R =Dr ′b  
该式说明D 即为b 系至R 系的坐标变换矩阵。
　　C R b =I+2Usinθ2 cosθ2 +2sin 2 θ2 U∙U 
即

令

并以q 0 q 1 q 2 q 3  构造四元数：
Q=q 0 +q 1 i 0 +q 2 j 0 +q 3 k 0 =cosθ2 +(li 0 +mj 0 +nk 0 )sinθ2 =cosθ2 +u R sinθ2  
则可得如下结论：

1. 四元数Q=cosθ2 +u R sinθ2  描述了刚体的定点转动，即当只关心b 系相对R 系的角位置时，可认为b 系是由R 系经过无中间的一次性等效旋转形成的，Q 包含了这种等效旋转的全部信息：u R  为旋转瞬时轴和坐标变换矩阵，θ 为转过的角度。
2. 四元数可以确定b 系至R 系的坐标变换矩阵。
   
   由于‖q‖=q 2 0 +q 2 1 +q 2 2 +q 2 3 =cos 2 θ2 +(l+m+n)sin 2 θ2 =1 ，所以可以进一步推得如下结论：
   (1)描述刚体旋转的四元数是规范化四元数。
   (2)
   (3)如果将向量r R  和r b  看作零标量的四元数，则r R  和r b  间的变换关系可采用四元数乘法表示：r R =Q⊗r b ⊗Q ∗  该式称为坐标变换的四元数表示法，其中Q 为R 至b 系的旋转四元数。坐标变换的矩阵表示法为：r R =C R b r b