算法基础4—快速排序

快速排序也是在面试中常被问的排序算法之一，它与归并算法一样，也使用了分治的思想。快速排序的三步分治过程：

1. 分解：将一个待排序数组A[p,…,r]划分为两个字数组（可能为空）A[p…q-1], A[q+1…r],其中A[p…q-1]中的每一个元素都小于A[q], A[q+1…r]中的每一个元素都大于A[q]。计算下标q也是划分过程中的一部分。
2. 解决： 通过递归调用快速排序，对子数组A[p…q-1]和A[q+1…r]进行排序。
3. 合并：因为子数组都是原址排序的，所以不需要合并操作，数组A[p…r]已经有序。
   下面先给出快速排序的伪代码：

quickSort(A, p, r) 1.if p<r 4.  q = partition(A,p,r) 5.  quickSort(A, p, q-1) 6.  quickSort(A, q+1, r)

为了排序一个数组的所有元素，初始调用是quickSort（A, 1，A.length）。
首先介绍一个快速排序的最关键的一步就是数组的划分：
即partition部分，它实现了对数组A[p…r]的原址重排。
番外：<原址在百度百科中给出的定义是在排序算法中，如果输入数组中仅有常数个元素需要在排序过程中存储在数组之外，则称排序算法是原址的。为什么归并排序不是原址排序，而堆排序是原址的呢？要怎么理解这句话呢？
因为归并排序还要另外一个数组做merge。那个是O(n)空间。in-place归并是可以写出来的，就是超级麻烦。快排是in-place的，因为它就是在自己数组里折腾。堆排也是，它建立了一个堆的结构，每次deletemax少一个元素，但它还是在自己数组里折腾的，只是这个数组前面若干个元素维护了堆结构，后面若干个元素是由小到大排好顺序的，堆永远不会访问后面排好顺序的元素。>
继续给出partition的伪代码：

partition(A, p, r) 7. x = A[r]            //选定的基准值 8. i = p-1             //类似一个指针，指定要交换的元素 9. for j = p to r        //也类似一个指针，指定后面满足交换条件的元素 10.     if A[j] <= x 11.        i ++        12.        exchange A[i] with A[j] 13. exchange A[i+1] with A[r] 14. return i+1

在子数组A[p…r]上，partition维护了4个区域，如下图所示，A[p…i]区间内的所有值都是小于等于x，A[i..j]区间内的所有值都是大于x,A[r]=x。字数组A[j…r-1]中的值可能属于任何一种情况。

当A[j..r]中的元素小于等于x时，执行如算法中的操作，i++,并且交换A[i]和A[j]。元素大于x时，没有明显操作，即加入到A[i..j]中。
js代码如下:

var partition = function(a, p, r){    var x = a[r-1];    var i = p-1;    for(var j = p; j < r-1; j++)    {        if(a[j] <= x)        {            i = i+1;            var temp = a[i+1]；            a[i+1] = a[j];            a[j] = temp;        }    }    var ans = a[i+1];    a[i+1] = a[r-1];    a[r-1] = ans;    return i+1;}var qSort = function(a, p, r){    if(p < r)    {        var q = partition(a, p, r);        qSort(a, p, q-1);        qSort(a, q+1, r);    }}

交换两个元素时，有个swap()函数，可是我还没有具体看它是怎么实现的，所以还是先这样利用一个变量进行交换。
还有一个过程，就是算法的时间复杂度分析，虽然我们常说快速排序的时间复杂度是O(nlgn)，却很少具体的分析一下什么情况下是O(nlgn),这个是快排最好的时间复杂度吗？
我们都知道快排的运行时间依赖于划分是否平衡，而平衡与否又依赖于用于划分的元素。如果划分是平衡的，那么快排算法性能与归并排序一样。如果划分不平衡，那么快排的性能就接近于插入排序了。
下面从三个不同的划分来分析一下快排的时间复杂性。

1. 最坏情况划分

   当划分的两个字问题分别包含了n-1个元素和0个元素。我们假设每次递归调用都出现了这种不平衡的划分。划分操作的时间复杂度是O(n)。由于对大小为0的数组进行递归会直接返回，因此T(0) = O(1)，于是算法运行的时间递归式可以表示成
   T(n) = T(n-1)+O(n)
   利用带入法可以得到T(n) = O(n)+O(n-1)+O(n-2)+…+O(1)+T(0)
   即： T(n) = O(n^2)。
   可以看到，最坏情况下快速排序运行时间并不比插入排序更好。此外，当数组已经排好序时，时间复杂度依然为O(n^2)，而插入排序的时间复杂度为O（n）。

2. 最好情况划分

   在可能的最平衡的划分中，partition得到的两个子问题的规模都不大于n/2。这是因为其中一个子问题的规模为[n/2]，而另一个子问题的规模为[n/2]-1。在这种情况下快速排序的性能非常好。此时，算法运行的时间递归式为：
   T(n) = 2T(n/2)+O(n)
   上述递归式的解为T(n) = O(nlgn)。
   事实上，任何一种常数比例的划分都会产生深度为O(lgn) 的递归树，其中每一层的时间代价都是O（n）,因此，只要是常数比例的划分，算法的运行时间都是O(nlgn)。

3. 平均情况

   在平均情况下，partition所产生的划分同时混合有“好”和“差”的划分。此时，在递归树中，好和差的划分是随机分布的。
   如下图a所示，显示了连续两层上的划分，根节点处划分的代价为n，划分产生两个子数组，大小分别为n-1和0。在下一层上，大小为n-1的子数组按最好情况划分。这一组合的划分代价为O(n)+O(n-1)= O(n)。该代价并不比（b）中所示的划分情况差。因此，当好的划分和差的划分交替出现时，快速排序的时间复杂度与全是好的划分时一样，依然是O(nlgn)。区别只是O符号中隐含的常数因子要略大一些。