CodeForces 712D Memory and Scores

来源：互联网发布：厄运葬礼知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/01 21:27

题目链接：http://codeforces.com/contest/712/problem/D

因为每轮Memory和Lexa能取的都在[-k,k]，也就是说每轮两人分数的变化量在[-2k,2k]；

故可以定义状态：dp[times][diff]为第times次Memory和Lexa的分数差为diff的方案数.

而dp[times][diff]可以从dp[times-1][diff-2k]到dp[times-1][diff+2k]转移而来；

又因为变化量为-2k时的方案数为1（-k，k），

变化量为-2k+1时的方案数为2（-k，k-1；-k+1，k），

变化量为-2k+2时的方案数为3（-k，k-2；-k+1，k-1；-k+2，k），

...，

变化量为-2k+m时的方案数为m+1，

...，

变化量为0时的方案数为2k+1，

...，

变化量为2k-m时的方案数为m+1，

...，

变化量为2k-1时的方案数为2，

变化量为2k时的方案数为1.

所以状态转移方程为：dp[times][diff]=dp[times-1][diff-2k]+2*dp[times-1][diff-2k+1]+3*dp[times-1][diff-2k+2]+...+(m+1)*dp[times-1][diff-2k+m]+...+2*dp[times-1][diff+2k-1]+dp[times-1][diff+2k];

这样的话，时间复杂度为O（k²t²），代码如下：

#include<iostream>#include<cmath>#define M 1000000007LL#define TIME 105#define DIFF 300000#define BASE 150000using namespace std;typedef long long LL;LL a,b,k,t,ans;LL dp[TIME][DIFF];int main(void){    cin>>a>>b>>k>>t;    dp[0][a-b+BASE]=1;    LL upper=a-b+BASE+2*k*t;    LL lower=a-b+BASE-2*k*t;    for(LL times=1;times<=t;++times){        for(LL diff=lower;diff<=upper;diff++){            for(LL m=0;m<=2*k;m++){                LL add=-2*k+m;                if(diff+add>=lower){                    if(add)dp[times][diff]+=(dp[times-1][diff+add]+dp[times-1][diff-add])*(m+1);                    else dp[times][diff]+=dp[times-1][diff]*(m+1);                    dp[times][diff]%=M;                }            }        }    }    for(int i=BASE+1;i<=upper;++i)        ans=(ans+dp[t][i])%M;    cout<<ans<<endl;}

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很显然，这会T，所以必须做出优化。

注意到：

dp[times][diff]是在dp[times][diff-1]的基础上前半段各个项减一，后半段各个项加一得到的，所以可以维护一个前缀和数组pre[i]，那么

dp[times][diff]=dp[times][diff-1]+(pre[diff+2k]-pre[diff-1])-(pre[diff-1]-pre[(diff-1)-2k-1])

可以在O（1）的时间内完成，优化后的代码时间复杂度为O（kt²），代码如下：

#include<iostream>#include<cmath>#define M 1000000007LL#define TIME 105#define DIFF 500000#define BASE 250000using namespace std;typedef long long LL;LL a,b,k,t,ans;LL dp[TIME][DIFF];LL pre[DIFF];int main(void){    cin>>a>>b>>k>>t;    dp[0][a-b+BASE]=1;    LL upper=a-b+BASE+2*k*t;    LL lower=a-b+BASE-2*k*t;    for(LL times=1;times<=t;++times){        for(LL diff=lower;diff<=upper;diff++)            pre[diff]=pre[diff-1]+dp[times-1][diff],pre[diff]%=M;        for(LL m=0;m<=2*k;m++){            LL add=-2*k+m;            if(add)dp[times][lower]                +=(dp[times-1][lower+add]+dp[times-1][lower-add])*(m+1);            else dp[times][lower]+=dp[times-1][lower]*(m+1);            dp[times][lower]%=M;        }        for(LL diff=lower+1;diff<=upper;diff++){            dp[times][diff]=dp[times][diff-1]                +(pre[min(upper,diff+2*k)]-pre[diff-1])                -(pre[diff-1]-pre[max(lower,diff-1-2*k)-1]);            dp[times][diff]=(dp[times][diff]+M)%M;            //记得+M，减法模运算可能会出现负数        }    }    for(int i=BASE+1;i<=upper;++i)        ans=(ans+dp[t][i])%M;    cout<<ans<<endl;}

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