数据结构中的二叉搜索树

文章转载自http://www.cnblogs.com/xpjiang/p/4569591.html

什么是二叉搜索树

二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树：一颗二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：

• 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值
• 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值
• 左、右子树都是二叉搜索树
• 没有键值相等的节点

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、multiset、关联数组等。

以下代码是二叉搜索树的构建

#include<iostream>#include<stack>#include<vector>using namespace std;typedef struct Bin_Tree{int value;BinTree* right;BinTree* left;} BinTree;//构造二叉搜索树BinTree* InsertNode(BinTree* root, int value){BinTree* newnode = new BinTree;newnode->value = value;newnode->right = NULL;newnode->left = NULL;if (root == NULL)root = newnode;else{//找合适的位置BinTree* parent = root;while (parent != NULL){if (value > parent->value){if (parent->right == NULL)break;elseparent = parent->right;}else{if (parent->left == NULL)break;elseparent = parent->left;}}if (parent->value < value)parent->right = newnode;elseparent->left = newnode;}return root;}int main(){BinTree* root = NULL;int array[] = { 10, 6, 14, 4, 8, 12, 16 };for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(int); i++)root = InsertNode(root, array[i]);}

下面的代码是将有序数组构建成二叉搜索树

/*将有序数组插入到BST中*/void InsertFromArray(BinTree*& root, int* array, int start, int end){if (start > end)return;//初始化一个节点root = new BinTree;root->left = NULL;root->right = NULL;//找到有序数组的中间节点作为根节点int mid = start + (end - start) / 2;root->value = array[mid];//然后递归调用创建左子树和右子树InsertFromArray(root->left, array, start, mid - 1);InsertFromArray(root->right, array, mid + 1, end);}//如果采用中序遍历对二叉搜索树进行 遍历的话，得到的将是有序序列void Inorder(BinTree* root){if (root == NULL)return;Inorder(root->left);cout << root->value << endl;Inorder(root->right);}int main(){int array[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };BinTree* root = NULL;InsertFromArray(root, array, 0, 8);Inorder(root);return 0;}

二叉搜索树操作的特别函数

• Postion Find(ElementType X, BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找元素X，返回其所在结点的地址
  
• Postion FindMin(BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址
• Position FindMax(BinTree BST)：从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址
• BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST)
• BinTree Delete(ElementType X, BinTree BST)

二叉搜索树的查找操作：Find

• 查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL
• 若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，并进行不同处理：

若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索

若X大于根结点的键值，在右子树中继续进行搜索

若两者比较结果相等，搜索完成，返回指向此结点的指针

Positon Find(ElementType X, BinTree BST){    if(!BST)        return NULL; // 查找失败    if(X > BST->Data)        return Find(X, BST->Right); // 在右子树中继续查找    else if        return Find(X, BST->Left); // 在左子树中继续查找    else // X == BST->Data        return BST; // 查找成功，返回结点的地址}

上面程序中的两处递归调用都是尾递归，因此可以方便的改写为迭代函数，以便提高执行效率（注意到，查找的效率取决于树的高度）

Position IterFind(ElementType X, BinTree BST){    while(BST)    {        if(X > BST->Data)            BST = BST->Right; // 向右子树中移动，继续查找        else if(X < BST->Data)            BST = BST->Left; // 向左子树中移动，继续查找        else // X == BST->Data            return BST; // 查找成功，返回结点的地址    }    return NULL; // 查找失败}

查找最大和最小元素

　　只需注意到以下事实：

• 最大元素一定在树的最右分支的端结点上
• 最小元素一定在树的最左分支的端节点上

查找最小元素的递归函数

Postion FindMin(BinTree BST){    if(!BST)        return NULL; // 空的二叉搜索树，返回NULL    else if(!BST->Left)        return BST; // 找到最左叶结点并返回    else        return FindMin(BST->Left); // 沿左分支继续查找}

查找最大元素的迭代函数

Position FindMax(BinTree BST){    if(BST)        while(BST->Right)            BST = BST->Right; // 沿右分支继续查找，直到最右结点    return BST;}

二叉搜索树的插入

　　关键是要找到元素应该插入的位置，可以采用与Find类似的方法

BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST){    if(!BST)    {        // 若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树        BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));        BST->Data = X;        BST->Left = BST->Right = NULL;    }    else // 开始找要插入元素的位置    {        if(X < BST->Data)            BST->Left = Insert(X, BST->Left); // 递归插入左子树        else if(X > BST->Data)            BST->Right = Insert(X, BST->Right); // 递归插入右子树        // else X已经存在，什么都不做    }    return BST;}

关于上面的代码，多说一点，就是关于递归调用返回的时候需要赋值给左子树或右子树，这在大多数赋值的情况下显得多余（就像是说，把当前树的左子树赋值给它的左子树），但是它是必须的，因为在插入元素的时候我们需要知道它的父结点的左指针或右指针。我们也可以消除不必要的赋值，但是它是以增加逻辑判断为代价的，还不如原先的方式显得清晰、美观。

二叉搜索树的删除

　　要考虑三种情况

• 要删除的是叶节点：直接删除，并再修改其父结点指针，置为NULL
• 要删除的结点只有一个孩子结点：将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点
• 要删除的结点有左、右两颗子树：用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素或者左子树的最大元素

BinTree Delete(ElementType X, BinTree BST){    Position Tmp;    if(!BST)        printf("要删除的元素未找到");    else if(X < BST->Data)        BST->Left = Delete(X, BST->Left); // 左子树递归删除    else if(X > BST->Data)        BST->Right = Delete(X, BST->Right); // 右子树递归删除    else // 找到要删除的结点    {        if(BST->Left && BST->Right) // 被删除结点有左右两个子结点        {            Tmp = FindMin(BST->Right); // 在右子树中找最小的元素填充删除结点            BST->Data = Tmp->Data;            BST->Right = Delete(BST->Data, BST->Right); // 在删除结点的右子树中删除最小元素        }        else // 被删除结点有一个或无子结点        {            Tmp = BST;            if(!BST->Left) // 有右孩子或无子结点                BST = BST->Right;            else if(!BST->Right) // 有左孩子或无子结点                BST = BST->Left;            free(Tmp);        }    }    return BST;}