函数的可积性与原函数的存在性辨析

先看两个小的结论，有点拗口：

被积函数虽然可积，但是不能表示变上限积分函数是否可导，除非被积函数连续，即：f(x)连续，那么积分必定可导。如果不连续，积分一定不可导。

但是只要被积函数可积，则变上限积分函数必定连续。
可积比原函数存在需要的条件少一些。

变上限积分的根子还是在函数的积分，因此我们只看不定积分的一般情况。

第一类间断点的函数仍然可积，事实上，这句话的完整描述是：有限个第一类间断点的函数均可积，但是只要是第一类间断点，即使是可去间断点，仍然不存在原函数。
换句话说，只要函数连续，就一定有原函数。
But,第二类间断点的函数是否存在原函数是不定的，是否可积也是不定的。

这个结论该怎么证明呢？（只详谈第一类间断点）

关于第二类间断点的可积性判断，有关广义积分与极限，这里暂时避而不谈，关注一个重点。

这么说，假设函数f(x)存在第一类间断点，那么自然可积函数是连续的。这个暂不细究，而如果认为这个可积函数是原函数，那么标准就要严苛起来了。具体严格的标准如下：原函数求导得到的是f(x)。那么必然原函数连续且可导。

可导的定义我们知道：左右导数均存在且相等。

对应到f(x)便是：f(x)的左右极限且相等。由这里知道，跳跃间断点肯定排除了。也即有跳跃间断点的函数必定无原函数。

那么看起来可去间断点的函数满足了原函数左右导数相等的条件了。
但是再想一下，我们从左右导数推导以后，还得关注一点可导（视这点为x0）的细节，即：原函数在一点可导，左右导数相等且等于x0点的导数：f(x0)，现在x0处f(x)是个洞，这样原函数肯定不乐意，一个洞都不能有！

而第二类间断点的函数是否存在原函数是不定的。第二类间断点有无穷间断点和震荡间断点，这两类要具体问题具体分析。我数学素养有限，不能随手就举出例子。只记得这个结论以及有这样一种直觉。

但是，无论如何，请理解：只要是第一类间断点，这个函数就一定没有原函数。同时，还要区分可积的概念，可积就不用管原函数那套严苛的数学定义，只需要关注求和，可加即可。这点也需要明确。