UVa 11400- Lighting SystemDesign（DP）

UVa 11400- Lighting SystemDesign

题意：要设计一个照明系统，有n种灯泡要使用，每种灯泡有4个参数，电压V，一个电源费用K，一个灯泡的费用C，以及选择该灯泡时需要的数量L，多个同种灯泡可以共用一个电源，不同灯泡需要对应的电源，电压低的灯泡可以用电压高的灯泡代替，求设计这个照明系统的最低花费。

 

分析：问题求解需要得到2个结论。

1、：一种灯泡，要么全选，要么全不选，证明：设有两种灯泡，一共选择x个，如果第一种选择y个，那么总花费为k1+k2+(C2-C1)*y+C2*x..①，如果只选择第一个，花费为K1+C1*x…②，全选第二个，花费为K2+C2*x…③，①式与后面②③做差可知总有一个大于0，即总存在更小的方案，不论C1与C2，X为何值，多种灯泡同理可证。

2、选择前i种灯泡时，如果要替换，只会替换一个连续区间的灯泡种类，即全部替换j+1到i-1为i这种灯泡。证明：如果J到i当中有一种灯泡x不替换，其他的全部替换为第i种，那么必然是选择x这种灯泡会更优，那么最优方案中j+1到x中这些灯泡应该被替换为x这种，而不应该替换为i这种灯泡，与假设矛盾，所以只会替换一连续区间的灯泡。

有了以上两个结论，便可以设计状态及转移方程了，设dp[i]为选前i种灯泡的最小花费，那么根据决策共有i种状态转移， dp[i] = min(dp[j]+(sum[i]-sum[j])*la[i].c+la[i].k,dp[i])，sum数组为灯泡数量的前缀和，转移方程类似于最长上升子序列问题，难怪紫书上面这个例题放在LIS问题之后.......

做这个题的时候，想了各种dp方程，要么难以转移，要么会漏解，后面无奈去参考了下紫书的分析，才发现没有这么直接….想来也对，很多题都是这样，没有根据题目条件，通过一定的分析，得到某些结论，那么问题便无法求解，突然才知道数学能力的重要性，这是我的一个很大的不足，通过这题也更加说明了知识才是基础！！！

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <iostream>#include <cmath>#define LL long long#define INF 0x3f3f3f3f#define N 1010using namespace std;int sum[N], dp[N];struct lamp{    int v, k, c, l;}la[N];inline int cmp(lamp x, lamp y) {return x.v < y.v;}int main(){    int n;    while (scanf("%d", &n), n){        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d %d %d", &la[i].v, &la[i].k, &la[i].c, &la[i].l);        sort(la+1, la+1+n, cmp);        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1]+la[i].l;        for (int i = 1; i <= n; i++){            dp[i] = INF;            for (int j = 0; j < i; j++) dp[i] = min(dp[j]+(sum[i]-sum[j])*la[i].c+la[i].k, dp[i]);        }        printf("%d\n", dp[n]);    }    return 0;}