【线性规划与网络流24题 6】最长递增子序列

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【线性规划与网络流24题 6】最长递增子序列

Description

给定正整数序列x1, .., xn。
（1）计算其最长递增子序列的长度s。
（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。
（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和 xn，则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

编程任务：
设计有效算法完成（1）（2）（3）提出的计算任务。

Input

第1 行有 1个正整数n(n<500)，表示给定序列的长度。
接下来的1 行有 n个正整数x1, ..., xn.

Output

程序运行结束时，将任务（1）（2）（3）的解答输出。
第1 行是最长递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s的递增子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s的递增子序列个数。

Sample Input

43 6 2 5

Sample Output

223

第一问呢：

二维的线性dp搞法：dp【i】为以i结尾的，最长不下降子序列的长度

然后，枚举1~i-1进行转移

第二问：

要求长度为s的非下降子序列的个数

就是求最大流：那我们需要考虑如何建边

因为每个点只能使用一次：使用经典的拆边方法咯：

每个点拆成u1和u2，边上的容量为1

如何实现转移：

如果dp【i】=dp【j】+1，并且a【i】>=a【j】（貌似这个条件是废话），而且i>j，说明i在j之后

那么，连接一条j2到i1的容量为1的边，表示可以实现转移

源点S与dp【x】为1的所有x连边，容量为1，代表从这儿出发（不能与所有点相连，因为这样长度到不了s）

dp【x】为s的所有x与汇点T连边，容量为1

第三问：

1号点和n号点可以使用无数次的话，意味着增加边权就好！

注意：有可能增加边权之后，答案变成了2*INF！（想想为什么：当原数列是下降序列的时候，第二问答案为n，拆点之后，相当于S到T有了容量为2*INF的边）

所以要注意判断下，是不是这种情况

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn=10050;const int maxm=100500;const int INF=99999999;struct Edge{int to,nxt,cap,flow;}edge[maxm];int tol,Head[maxn];void init(){memset(Head,-1,sizeof(Head));tol=2;}void addedge(int u,int v,int w,int rw=0){edge[tol].to=v;edge[tol].cap=w;edge[tol].flow=0;edge[tol].nxt=Head[u];Head[u]=tol++;edge[tol].to=u;edge[tol].cap=rw;edge[tol].flow=0;edge[tol].nxt=Head[v];Head[v]=tol++;}int Q[maxn],dep[maxn],cur[maxn],sta[maxn];bool bfs(int s,int t,int n){int front=0,tail=0;memset(dep,-1,sizeof(dep[0])*(n+1));dep[s]=0;Q[tail++]=s;while(front<tail){int u=Q[front++];for(int i=Head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].to;if (edge[i].cap>edge[i].flow&&dep[v]==-1){dep[v]=dep[u]+1;if (v==t) return true;Q[tail++]=v;}}}return false;}int dinic(int s,int t,int n){int maxflow=0;while(bfs(s,t,n)){for(int i=0;i<n;i++) cur[i]=Head[i];int u=s,tail=0;while(cur[s]!=-1){if (u==t) {int tp=INF;for(int i=tail-1;i>=0;i--) tp=min(tp,edge[sta[i]].cap-edge[sta[i]].flow);maxflow+=tp;for(int i=tail-1;i>=0;i--){edge[sta[i]].flow+=tp;edge[sta[i]^1].flow-=tp;if (edge[sta[i]].cap-edge[sta[i]].flow==0) tail=i;}u=edge[sta[tail]^1].to;}else if (cur[u]!=-1&&edge[cur[u]].cap>edge[cur[u]].flow&&dep[u]+1==dep[edge[cur[u]].to]){sta[tail++]=cur[u];u=edge[cur[u]].to;}else{while(u!=s&&cur[u]==-1) u=edge[sta[--tail]^1].to;cur[u]=edge[cur[u]].nxt;}}}return maxflow;}int dp[maxn];int a[maxn];int s,t,tot,n;int getpoint1(int x){return x*2-1;}int getpoint2(int x){return x*2;}/*void calc(int len,int val){init();addedge(getpoint1(1),getpoint2(1),val);addedge(getpoint1(n),getpoint2(n),val);for(int i=2;i<n;i++)addedge(getpoint1(i),getpoint2(i),1);for(int i=1;i<=n;i++){if (dp[i]==1)addedge(s,getpoint1(i),INF);if (dp[i]==len)addedge(getpoint2(i),t,INF);}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<i;j++)if (a[i]>=a[j]&&dp[i]==dp[j]+1)addedge(getpoint2(j),getpoint1(i),1);int ans=dinic(s,t,tot);printf("%d\n",ans);}*/int main(){//freopen("input.txt","r",stdin);while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){dp[i]=1;for(int j=1;j<i;j++)if (a[i]>=a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);ans=max(ans,dp[i]);}printf("%d\n",ans);s=0;t=2*n+1;tot=t+1;//calc(ans,1);//calc(ans,INF);init();addedge(getpoint1(1),getpoint2(1),1);addedge(getpoint1(n),getpoint2(n),1);for(int i=2;i<n;i++)addedge(getpoint1(i),getpoint2(i),1);for(int i=1;i<=n;i++){if (dp[i]==1)addedge(s,getpoint1(i),INF);if (dp[i]==ans)addedge(getpoint2(i),t,INF);}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<i;j++)if (a[i]>=a[j]&&dp[i]==dp[j]+1)addedge(getpoint2(j),getpoint1(i),1);ans=dinic(s,t,tot);printf("%d\n",ans);addedge(getpoint1(1),getpoint2(1),INF);addedge(getpoint1(n),getpoint2(n),INF);int temp=dinic(s,t,tot);if (temp<INF) ans+=temp;printf("%d\n",ans);}return 0;}