[POJ 2104] K-th Number （主席树）

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POJ 2104

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题意

给出一个序列，m组查询，对每个查询(i, j, k)需要输出区间[i, j]中第k大的数。

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题解

主席树的入门题。
主席树其实就是可持久化线段树，比如现有n组操作，每组操作可更改序列中a[i]的值，并且需要支持序列求和，当然这个问题通过线段树很好解决。比如某种询问，需要你退回到第k步操作以后，这就需要可持久化线段树去解决。
事实上上述问题也有一种离线的做法，由于操作可退回到之前某步，只要一次性读取所有操作然后对操作建一个树就可以，如果某个操作需要回到第k步，那么该操作之后的操作就都是第k步节点的子孙节点。然后遍历该操作树，该回溯的回溯就ok。
主席树是可以在线解决该问题的，其实很好理解，每一步操作可以开一个线段树单独记录，称为一个版本，但是操作数可能很庞大，线段树的空间吃不消。但是注意到每次操作（如果可用线段树维护的话）对应线段树有一个logn的修改路径，也就是我们不需要备份这个线段树，只需要基于原先的值开一条新的路径，在该路径上修改即可。
可以想象一下这个感觉，一共n组操作，就是n个线段树的路径在空间上一层一层的叠起来。
只保留了路径，那么对某层版本查询怎么办？备份路径的时候，需要把路径外的指向上层版本的对应位置，这样对单独的某个版本就仍然是一颗完整的线段树，空间感还是很强的。
代码是参考卿学姐的，风格很棒。一般是保留索引为0的节点的，可以把它想象成第1次操作之前的一个“底板”。

更新1：对了这里补充一点题目的解法（之前光顾着介绍主席树了），这道题是将序列离散化后用线段树维护，每插入一个a[i]就更新主席树的一个版本。实际上这么看，主席树可以看做一个二维的线段树，在这个问题中，一维是沿着基数的，即离散化后对每个数据计数，二维是沿着远序列的排列顺序的，这个才是版本的维度，也是挺巧妙的。。。
更新2：对于[POJ 2104]这道题，应该是没有离线做法的，之前卿学姐好像说有，应该是指[HDU 3333]那道题，那道题是统计区间元素种类的，所以我们可以将区间按照右端点排序，边扫描边更新每个元素的最右侧位置，这样区间左侧只要在线段树上查询就好，这道题目好像不能那么做。

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代码

#include <cstdio>#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;#define maxn (100010)int root[maxn], a[maxn], cnt;struct seg{    int lson, rson, num;} T[maxn * 40];vector<int> v;int getid(int x) { return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin(); }void update(int l, int r, int &now, int pre, int a){    now = ++cnt;    T[now] = T[pre];    T[now].num++;    if(l == r) return ;    int mid = (l + r) >> 1;    if(a <= mid) update(l, mid, T[now].lson, T[pre].lson, a);    else update(mid + 1, r, T[now].rson, T[pre].rson, a);}int query(int l, int r, int pre, int now, int k){    if(l == r) { return l; }    int mid = (l + r) >> 1, lnum = T[T[now].lson].num - T[T[pre].lson].num;    if(k <= lnum)        return query(l, mid, T[pre].lson, T[now].lson, k);    else        return query(mid + 1, r, T[pre].rson, T[now].rson, k - lnum);}int main(){    int n, m;    cin >> n >> m;    for(int i = 1; i <= n; i++) {        scanf("%d", &a[i]);        v.push_back(a[i]);    }    sort(v.begin(), v.end());    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());    for(int i = 1; i <= n; i++) {        update(0, n, root[i], root[i-1], getid(a[i]));    }    for(int i = 1, a, b, k; i <= m; i++) {        scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);        printf("%d\n", v[query(0, n, root[a-1], root[b], k)]);    }    return 0;}