高斯消元模板
来源:互联网 发布:淘宝描述图片尺寸最大 编辑:程序博客网 时间:2024/06/14 10:03
Description
Input
每组测试数据的格式如下:
第一行 一个数N(0 < N < 29)
第二行 N个0或者1的数,表示开始时N个开关状态。
第三行 N个0或者1的数,表示操作结束后N个开关的状态。
接下来 每行两个数I J,表示如果操作第 I 个开关,第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。
Output
Sample Input
230 0 01 1 11 21 32 12 33 13 20 030 0 01 0 11 22 10 0
Sample Output
4Oh,it's impossible~!!
Hint
一共以下四种方法:
操作开关1
操作开关2
操作开关3
操作开关1、2、3 (不记顺序)
某些开关的动作可能影响另一些开关的状态,因此以开关为节点,如果存在这种关系就加入一条有向边,这样就构成了一个图,可以用邻接矩阵表示。当某个开关按下时,其自身状态改变,受其影响的开关的状态也改变。
用两个N维向量表示初始状态和结束状态,两者逐个元素异或,就得到了开关状态的变化。
以第一个样例输入为例分析,3个开关,两两相连,初始状态000,最终状态111,开关对应的邻接矩阵为
将对角线的0全部换成1,得矩阵A=
将矩阵每一列想象为一个开关按下后产生的效果(1表示状态翻转,0表示不变),比如,第二列就表示按下第二个开关,则第二个开关的本身状态要改变(这就是把对角线0换成1的原因),受第二个开关影响的开关j状态也要改变,恰好对应邻接矩阵中A[j, 2]=1
把A写成分块矩阵的形式,每一列作为一个子矩阵,则有A=[a1,a2,a3],此处ai均为列向量,设第i个开关按下次数为xi,xi=0或1(开关按两下和没按是等效的,0/1就够了)
记初始状态b0=[0,0,0],最终状态b1=[1,1,1],则状态变化b=b0^b1=[1,1,1],这里b也是列向量。目标就是求x1a1 + x2a2 +x3a3 = b的解的个数(此处的加是模2加,也就是异或,下同)
这个方程可以写成
下面就是解这个线性方程组
对增广矩阵[A b]做初等行变换,化成阶梯形(高斯消元法),如果存在[0,0,…,0,1]的行,就是无解;如果存在r行[0,0,…,0,0],就意味着有r个自由变量,因为这里的变量只取0/1,所以有2r个解;如果不存在[0,0,…,0,*],即把最后一行去掉后不存在全0行,则A为满秩矩阵,则方程组有唯一解。
如果不理解这个地方,建议找本线性代数书,看一下线性方程组的解法,解的结构,通解
#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string.h>#include<math.h>using namespace std;const int MAXN=50;const int mod = 2;//可改 int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵int x[MAXN];//解集bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元/*void Debug(int equ,int var){ int i, j; for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { cout << a[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << endl;}*/inline int gcd(int a,int b){ int t; while(b!=0) { t=b; b=a%b; a=t; } return a;}inline int lcm(int a,int b){ return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,//-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数)//有equ个方程,var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.int Gauss(int equ,int var){ int i,j,k; int max_r;// 当前这列绝对值最大的行. int col;//当前处理的列 int ta,tb; int LCM; int temp; int free_x_num; int free_index; for(int i=0;i<=var;i++) { x[i]=0; free_x[i]=true; } //转换为阶梯阵. col=0; // 当前处理的列 for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++) {// 枚举当前处理的行.// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) max_r=k; for(i=k+1;i<equ;i++) { if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i; } if(max_r!=k) {// 与第k行交换. for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]); } if(a[k][col]==0) {// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列. k--; continue; } for(i=k+1;i<equ;i++) {// 枚举要删去的行. if(a[i][col]!=0) { LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col])); ta = LCM/abs(a[i][col]); tb = LCM/abs(a[k][col]); if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加 for(j=col;j<var+1;j++) { a[i][j] = (mod + (a[i][j]%mod)*ta - (a[k][j]%mod)*tb)%mod; } } } } //Debug(equ,var); // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (i = k; i < equ; i++) { // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换. if ( (a[i][col]%mod) != 0) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. if (k < var) { // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. for (i = k - 1; i >= 0; i--) { // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; } if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. temp = a[i][var]; for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; } x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. } return var - k; // 自由变元有var - k个. } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (i = var - 1; i >= 0; i--) { temp = a[i][var]; for (j = i + 1; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; } if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解. x[i] = temp / a[i][i]; } return 0;}int main(){ int T; scanf("%d",&T); int equ,var; int st[50],ed[50]; int ii,jj; while(T--){ scanf("%d",&equ); var = equ; for(int i=0; i<equ; i++) scanf("%d",&st[i]); for(int i=0; i<equ; i++) scanf("%d",&ed[i]); memset(a,0,sizeof(a)); while(~scanf("%d %d",&ii,&jj) && ii) a[jj-1][ii-1] = 1; for(int i=0; i<equ; i++) a[i][i] = 1; for(int i=0; i<equ; i++) a[i][equ] = (st[i]+ed[i])%mod; int free_sum = Gauss(equ,var); if(free_sum<0) printf("Oh,it's impossible~!!\n"); else printf("%d\n",1<<free_sum);} return 0;}
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