CRC冗余校验详解

一CRC简介
CRC校验码的基本思想是利用线性编码理论， 在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的监督码（既CRC码）r位，并附在信息后边，构成一个新的二进制码序列数共(k+r)位，最后发送出去。在接收端，则根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。
在数据存储和数据通讯领域，CRC无处不在:著名的通讯协议X.25的FCS(帧检错序列)采用的是CRC. CCITT，ARJ、LHA等压缩工具软件采用的是CRC32，磁盘驱动器的读写采用了CRC16，通用的图像存储格式GIF、TIFF等也都用CRC作为检错手段。
CRC的本质是模-2除法的余数，采用的除数不同，CRC的类型也就不一样。通常，CRC的除数用生成多项式来表示。最常用的CRC码的生成多项式有CRC16,CRC32.
以CRC16为例,16位的CRC码产生的规则是先将要发送的二进制序列数左移16位（既乘以2^16）后，再除以一个多项式，最后所得到的余数既是CRC码，如下式所示，其中K(X)表示n位的二进制序列数，G(X)为多项式，Q(X)为整数，R(X)是余数（既CRC码）。

    K(X)>>16=G(x)Q(x)+R(x)

二 生成CRC码的基本原理：

任意一个由二进制位串组成的代码都可以和一个系数仅为‘0’和‘1’取值的多项式一一对应。例如：代码1010111对应的多项式为x^6+x^4+x^2+x^1+1，而多项式为x^5+x^3+x^2+x^1+1对应的代码101111。
转换方法：

注意：1可以看作1*x^0

标准CRC生成多项式如下表：

名称 生成多项式 简记式* 标准引用

CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704

CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31

CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07

CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E

CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F

CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC

CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS

CRC-32 x32+x26+x23+…+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS

CRC-32c x32+x28+x27+…+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP

三 CRC原理

1 算术上的除法：

120÷9＝13 余 3，120是被除数，9是除数，13是商，3是余数。念作120除以9，或者9除120，或者9去除120！（除法的过程就不写了） 这个除法计算机当然会做，但是做起来很麻烦，因为减法有借位，很耗时间和指令! 所以，计算CRC也是除法，但是用XOR来代替减法，这就简单多了！ 

2 CRC除法

120÷9＝14 余 6，商、余数和算术除法不一定相同！！因为除法用的是XOR，而不是真正的减法。 以二进制模拟这个计算过程：(过程详见参考资料1)可见，除法（XOR）的目的是逐步消掉最高位的1或0！ 由于过程是XOR的，所以商是没有意义的，我们不需要。我们要的是余数。余数110是1111000的CRC吗？不是！ 余数110是1111（即十进制15）的CRC！！！ 为什么？因为CRC是和数据一起传送的，所以数据后面要加上CRC。 数据1111加上CRC110后，变成1111110，再传送。接收机收到1111110后，除以除数1001，余数为000，正确；如果余数不为0，则说明传送的数据有误！这样完成CRC校验。 即发送端要发送1111，先在1111后加000，变成1111000，再除以1001得到余数110，这个110就是CRC，将110加到数据后面，变成1111110，发送出去。 接收端收到1111110，用它除以1001，计算得余数为000，就说明收到的数据正确。 所以原始数据后面要先扩展出3位0，以容纳CRC值！ 这个概念后面要用到。所以，实际上，数据是1111，CRC是110。 对于除数1001，我们叫它生成多项式，即生成项，或POLY，即g(x)。 数据1111根据POLY1001，计算得到CRC110。 如果POLY不是1001，而是1011，那得到的CRC也是不同的！ 所以生成项不同，得到的CRC也不同。

要预先定义好POLY，发送端和接收端要用一样的POLY！

四 生成项

上面例子中，生成项是1001，共4位比特，最高位的1，实际上在除法的每次XOR时，都要消掉，所以这个1可不做参考，后3位001才是最重要的！001有3位，所以得到的余数也是3位，因为最后一次除法XOR时，最高位消掉了。所以CRC就是3位比特的。 CRC是3比特，表示它的宽度W＝3。也就是说，原始数据后面要加上W=3比特的0进行扩展！ 生成项的最低位也必须是1，这是规定的。 生成项1001，就等效于g(x)=x^2+1   (原文错误，应该是g(x)=x^3+1)生成项也可以倒过来写，即颠倒过来，写成1001，这里倒过来的值是一样的。 再如CRC32的生成项是： 1 0000 0100 1100 0001 0001 1101 1011 0111 = 0x04C11DB7  （33个比特） 即g(x)= x^32+x^26+x^23+x^22+x^16+x^12+x^11+x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x^2+x+1 颠倒过来，就可以写成1110 1101 1011 1000 1000 0011 0010 0000 1 = 0XEDB88320一般生成项简写时不写最高位的1，故生成项是0x04C11DB7，颠倒后的生成项是0xEDB88320 CRC32的生成项是33比特，最高位是消掉的，即CRC值是32比特（4个字节），即宽度W=32，就是说，在计算前，原始数据后面要先扩展W=32个比特0，即4个0x00字节。 

注意：我看到网上CRC32的POLY有0x04C10DB7这个值的，它和正规的POLY值不同，需要注意！

五 直接计算法

直接计算法”就是直接模拟上面的除法的过程，来得到余数即CRC！ 上面的例子中，除数是4位，但最高位是要一直消掉的，所以我们只需要一个3位的寄存器就好了。 计算过程： 待测数据后扩展W=3个比特0，变成1111000； 寄存器初始化置0； 先在寄存器中移入数据111； 寄存器左移一位，并且右边移入下一位数据1。这样最高位1移出，由于最高位是1，故本次的商是1，要用除数1001来进行XOR，最高位肯定XOR得0，故不管它，只要用低3位001来进行XOR就可以，即001对寄存器进行XOR，寄存器中得到110，即第一次XOR后的结果（相当于是数据1111与生成项1001进行了一次XOR，并把最高位0消掉了）。 如果移出的最高位是0，则用0000来进行XOR（0 XOR 后，得到的还是原值）。 一直重复这个过程，就能得到最后余数了。 总共处理次数＝商的位数＝待测数据的位数－生成项位数＋1＋宽度W＝待测数据的位数＝4次。 假设有一个4 bits的寄存器，通过反复的移位和进行CRC的除法，最终该寄存器中的值就是我们所要求的余数。              3   2   1   0   Bits            +---+---+---+---+  Pop   <-- |   |   |   |   | <----- Augmented message（已加0扩张的原始数据）            +---+---+---+---+         1    0   0   1   1   = The Poly 生成项    依据这个模型，我们得到了一个最最简单的算法：    把register中的值置0.    把原始的数据后添加w个0.    While (还有剩余没有处理的数据)           Begin           把register中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register最低位的位置。           If (如果上一步的左移操作中的移出的一位是1)              register = register XOR Poly.           End 实际上就是模拟XOR除法的过程，即被测数据一位一位放到寄存器中来做除法。     比如生成项是10011，则生成的余数是4位XXXX，所以寄存器是4位。     待测数据是1101 0110 11，后面加上0000，即扩张4位，以容纳余数。     只要与生成项的0011做XOR就好了，最高位经过XOR肯定出0，可不用最高位。    过程如下： 待测数据先移4位即1101到寄存器中，准备开始除法。第1次除法：寄存器中是1101，先从寄存器移出最高位1，移进下一位待测数据位0，则寄存器中是1010，由于移出的位是1，则需要与生成项的0011做XOR，得到1001，即做了第1次除法后，寄存器中是1001，这个就是余数。 第2次除法：寄存器中是1001，从寄存器移出最高位1，移进下一位待测数据位1，则寄存器中是0011，由于移出的位是1，则需要与生成项的0011做XOR，得到0000，即做了第2次除法后，寄存器中是0000，这个就是余数。 第3次除法：寄存器中是0000，从寄存器移出最高位0，移进下一位待测数据位1，则寄存器中是0001，由于移出的位是0，则需要不做XOR，直接下一步移位。也可以等同于：本次的商是0,0*生成项＝0，即是0000与寄存器做XOR，得到寄存器的数不变，还是0001，即做了第3次除法后，寄存器中是0001，这个就是余数。 第4次除法：寄存器中是0001，从寄存器移出最高位0，移进下一位待测数据位0，则寄存器中是0010，由于移出的位是0，则需要不做XOR，直接下一步移位。 第5次除法：移位，不用做XOR，得到寄存器中是0101 第6次除法：移位，不用做XOR，得到寄存器中是1011 第7次除法：移位，移出的位是1，又要与生成项做XOR了 注意： 这个算法，计算出的CRC32值,与WINRAR计算出来的不一样，为什么？算法是正确的，不用怀疑！只是CRC32正式算法还涉及到数据颠倒和初始化预置值等，后述。 程序实现：

#include<iostream>using namespace std;unsigned char POLY=0X13;  //生成项 0x13=10011unsigned short data=0x035B;  //待测数据 0x035B=11 0101 1011unsigned short regi=0x0000;  //寄存器 初始化值为0x0000void GetCrc();int main(){    printf("data=%x\n",data);    data=data<<4;  //在data后面追加4个0    GetCrc();    return 0;}void GetCrc(){    for ( int cur_bit = 15; cur_bit >= 0; -- cur_bit )   //处理16次，前4次实际上只是加载数据     {         printf("cur_bit=%d\n",cur_bit);        if ( (  ( regi >> 4 )  & 0x0001 ) == 0x1 )              {                regi = regi ^ POLY;                 printf("regi^POLY=%x\n",regi);            }           regi <<= 1;          printf("regi<<1=%x\n",regi);        unsigned short tmp = ( data >> cur_bit ) & 0x0001;  //加载待测数据1比特到tmp中，tmp只有1比特         printf("cur_bit=%d\n",cur_bit);        printf("data>>cur_bit=%x\n",(data>>cur_bit));        printf("data=%x\n",data);        printf("tmp=%x\n",tmp);        regi |= tmp;    //这1比特加载到寄存器中         printf("regi=%x\n",regi);        printf("\n\n");    }     if ( ( ( regi >> 4 ) & 0x0001 ) == 0x1 )   regi = regi ^ POLY;    //做最后一次XOR    //这时， regi中的值就是CRC     printf("%x\n",regi);}

上面程序所加的输出只是为了方便观察运行中的一些中间变量

e就是求得的CRC校验值(注意：e是十六进制输出，换算为二进制为e=1110)

程序2：通用CRC计算程序：

#include<iostream>using namespace std;__int64 POLY=0X11021;  //生成项 0x11021=1 0001 0000 0010 0001__int64 data=0x035B;  //待测数据 0x035B=11 0101 1011__int64 regi=0x0;  //寄存器 初始化值为0x0000int crcbitnumber=16; //CRC是16bitint databitnumber=16; //待测数据是16位void GetCrc();int main(){    data<<=crcbitnumber;    GetCrc();    return 0;}void GetCrc(){    for ( int cur_bit = databitnumber+crcbitnumber-1; cur_bit >= 0; -- cur_bit )   //处理16次，前4次实际上只是加载数据     {         if ( (  ( regi >> crcbitnumber )  & 0x0001 ) == 0x1 )          {                regi = regi ^ POLY;          }        regi <<= 1;          unsigned short tmp = ( data >> cur_bit ) & 0x0001;  //加载待测数据1比特到tmp中，tmp只有1比特         regi |= tmp;    //这1比特加载到寄存器中      }    if ( ( ( regi >> crcbitnumber ) & 0x0001 ) == 0x1 )   regi = regi ^ POLY;    //做最后一次XOR    //这时， regi中的值就是CRC     printf("%x\n",regi);}

后记：
1 参考资料来自百度文库
http://wenku.baidu.com/link?url=Re2BWyWtcC2LXKNMyOM7eQX_qXOhCOn9sNacY8sLSK6LI-TmVmIDI1I46IjlaV-eOmNBPzuX7YAHhemtq3aXzLUCaCSXMpuxe8_u85Wfa_W
强烈推荐这一片文章
本文基本上是参照这一篇文章的思路来写，只不过原文作者有写的不太清楚的地方我有加了一些补充。另外原文还有很多内容，我只是截取了其中的一小部分，关于程序当然还可以进一步优化，具体的程序实现可以参考上面连接部分的文章，最后向作者表示深深的谢意。

2 百度知道
http://zhidao.baidu.com/link?url=tVyb1oCHklQOqYqxnWfDBDVaCdeA4A0Y7wchyNQwhtB5rmudtUpQHphqT1tLBxyRZjYnQGJqOT46AssO9WQaPeH07iwkHAR_5yhiFe0minq

3 http://www.cnblogs.com/FPGA_DSP/archive/2010/05/08/1730529.html

4 推荐一个可以计算CRC16的小计算器

下载地址：
http://download.csdn.net/detail/qq_27312943/9644783

小计算器是我从网上下载的，后来又传上来，侵删。