时间复杂度与空间复杂度完全解析

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本文出自【何嘉龙的博客】

前言

国庆小长假到了，不知道大家的国庆长假过得怎么样？在空间里面看到同学都外出浪了，我表示很嫉妒啊。哎，作为一个死宅男，还是安安静静的在宿舍写我的博客还有刷剧吧。我是自动化专业，由于是非科班出生，又听说大公司都比较重基础，于是乎，我准备恶补下数据结构与算法分析，我看的是《大话数据结构》，希望把自己的基础功打牢一点，进自己想进的公司吧。我也希望大家国庆能过得愉快！

时间复杂度

时间复杂度的定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间复杂量度，记住：T（n）=O（f(n)）。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。

这样用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n²)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶、O(n)叫做线性阶，O(n²)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

推导大O阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子。

推导大O阶：
1.用常数1取代运行时间后的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是高斯算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

int sum = 0, n = 100;   //执行1次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行1次printf("%d", sum);      //执行1次

这个算法的运行次数函数是f(n) = 3.根据我们推导的大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1,。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum = (1 + n) * n / 2有10句，即：

int sum = 0, n = 100;   //执行1次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第1次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第2次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第3次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第4次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第5次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第6次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第7次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第8次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第9次sum = (1 + n) * n / 2;  //执行第10次printf("%d", sum);      //执行1次

事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异。这种与问题的大小无关(n的多少)，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字，这是初学者常犯的错误。
对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构里)，其时间复杂度也是O(1)。

线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码必须要执行n次。

for(int i = 0; i < n; i++) {    //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列}

对数阶

下面这段代码，时间复杂度又是多少呢？

int count = 1;while(count < n) {    count = count * 2;    //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2的x次方=n，得到x=log₂n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们分析过了，时间复杂度为O(n)。

for(int i = 0; i < n; i++) {    for(int j = 0; j < n; j++) {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就为O(m × n)。

for(int i = 0; i < m; i++) {    for(int j = 0; j < m; j++) {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

所以，我们可以总结出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
那么下面这个循环嵌套，他的时间复杂度又是多少呢？

for(int i = 0; i < n; i++) {    for(int j = i; j < n; j++) {        //时间复杂度为O(1)的程序步骤序列    }}

当i = 0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n - 1次，依次类推，当i = n - 1时，执行了一次。所以总的执行次数为：

用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n²/2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终代码的时间复杂度为O(n²)。

常见的时间复杂度

常见的时间复杂度如表所示：

所耗费的时间从小到大依次为：

空间复杂度

我们在写代码的时候，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果，还有另外一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项就是1，否则为0。这样，所谓的判断一年是否为闰年，就变成了查找数组的某一项值是多少的问题。此时，我们的运算已经是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。
这是一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，要看你用在什么地方。

空间复杂度的定义

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储控件实现，算法空间复杂度的计算公式为：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。当不限定词的使用“复杂度”的时候，通常指时间复杂度。

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