梅氏砝码问题的证明
来源:互联网 发布:知乎如何促进台湾统一 编辑:程序博客网 时间:2024/05/03 12:27
问题:用4个砝码称出重量在1到40克内的钻石,这4个砝码分别多重(钻石重量为整型)。
解法:梅氏砝码。
假设第i个砝码的重量为a[i]且a[i]>=a[i-1]。i-1个砝码可以表示[1,n](n<=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]),那么新增砝码i后,可以表示的范围为[1,n]U[a[i]-n,a[i]+n]。为使其连续,所以a[i]-n<=n+1时,即a[i]<=2*n+1<=2*(a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1])+1。因此当a[i]=2*(a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1])+1时候可以获得最优解(i个砝码可以表示范围[1,a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i])。
所以
a[0]=0
a[1]=2*(a[0])+1=1
a[2]=2*(a[0]+a[1])+1=3
a[3]=2*(a[0]+a[1]+a[2])+1=9
a[4]=2*(a[0]+a[1]+a[2]+a[3])+1=27
......
此时a[0]+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=40
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