回溯法 之 八皇后问题

原文链接：http://blog.csdn.net/crayondeng/article/details/17174557

回溯法

回溯法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。回溯法是一种即带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，先判断该节点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对以该节点为根的子树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。否则，进入该子树，继续按照深度优先策略搜索。回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有子树都已被搜索遍才结束。回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先方式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是用于解组合数大的问题。

回溯法的基本思想

确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索方式搜索整个解空间。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为止。
回溯法搜索解空间树时，通常采用两种策略避免无效搜索，提高回溯法的搜索效率。其一是用约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满足约束的子树；其二是用限界函数剪去得不到最优解的子树。这两类函数统称为剪枝函数。

回溯法解题通常包含以下三个步骤：

1.针对所给问题，定义问题的解空间；
2.确定易于搜索的解空间结构；
3.以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

回溯法的实现

有两种方法：递归回溯和迭代回溯（非递归实现）。

下面给出这两个回溯实现的一般方法。

递归回溯：

迭代回溯：

在回溯法中有一个经典的问题：八皇后问题。

---- 以下有关八皇后问题介绍来着wikipedia。

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解

历史

八皇后问题最早是由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出。之后陆续有数学家对其进行研究，其中包括高斯和康托，并且将其推广为更一般的n皇后摆放问题。八皇后问题的第一个解是在1850年由弗朗兹·诺克给出的。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。

艾兹格·迪杰斯特拉在1972年用这个问题为例来说明他所谓结构性编程的能力^[2]。

八皇后问题在1990年代初期的著名电子游戏第七访客和NDS平台的著名电子游戏雷顿教授与不可思议的小镇中都有出现。

八皇后问题的解

八皇后问题一共有 92 个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解，具体如下：

独立解1

独立解2

独立解3

独立解4

独立解5

独立解6

独立解7

独立解8

独立解9

独立解10

独立解11

独立解12

解的个数

下表给出了 n 皇后问题的解的个数包括独立解U（OEIS中的数列A002562）以及互不相同的解D（OEIS中的数列A000170）的个数：

n1234567891011121314..242526U:10012161246923411,7879,23345,752..28,439,272,956,934275,986,683,743,4342,789,712,466,510,289D:100210440923527242,68014,20073,712365,596..227,514,171,973,7362,207,893,435,808,35222,317,699,616,364,044

可以注意到六皇后问题的解的个数比五皇后问题的解的个数要少。现在还没有已知公式可以对 n 计算 n 皇后问题的解的个数。

下面正式进入编程阶段咯：

在下面的代码中给出了递归方法实现和迭代方法实现的八皇后问题！

[cpp] view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <cmath>  
3. #include <cstring>  
4. using namespace std;  
5.   
6. int queen[9];  
7.   
8. //数组初始化  
9. void init()  
10. {  
11.     memset(queen,0,9*sizeof(int));  
12. }  
13.   
14. //输出结果  
15. void print()  
16. {  
17.     for(int i=1; i<9; i++) cout<<queen[i]<<"  ";  
18.     cout<<endl;  
19. }  
20.   
21. //剪枝函数  
22. bool canPlaceQueen(int k)  
23. {  
24.     for(int i = 1; i < k; i++)  
25.     {  
26.         //判断是否处于同一列或同一斜线  
27.         if(queen[i] == queen[k] || abs(k-i) == abs(queen[k]-queen[i])) return false;  
28.     }  
29.     return true;  
30. }  
31. //迭代方法求解八皇后过程  
32. void eightQueen_1()  
33. {  
34.     int k = 1;  
35.     while(k>=1)  
36.     {  
37.         while(queen[k]<=7)  
38.         {  
39.             queen[k] += 1;  
40.             if(k == 8 && canPlaceQueen(k))  
41.             {  
42.                 print();  
43.             }  
44.             else if(canPlaceQueen(k))  
45.             {  
46.                 k++;  
47.             }  
48.         }  
49.         queen[k] = 0;  
50.         k--;  
51.     }  
52. }  
53.   
54. //递归方法求解八皇后过程  
55. void eightQueen_2(int k)  
56. {  
57.     for(int i=1; i<9; i++)  
58.     {  
59.         queen[k] = i;  
60.         if(k == 8 && canPlaceQueen(k))  
61.         {  
62.             print();  
63.             return;  
64.         }  
65.         else if(canPlaceQueen(k))  
66.         {  
67.             eightQueen_2(k+1);  
68.         }  
69.     }  
70. }  
71. int main()  
72. {  
73.     init();  
74.     eightQueen_1();  
75. //    eightQueen_2(1);  
76.     return 0;  
77. }  

过程比较简单，就不多细说了，关于n皇后问题，通过对上面代码的稍加改动也可以实现。

运行输出结果：

[cpp] view plain copy

1. 1  5  8  6  3  7  2  4  
2. 1  6  8  3  7  4  2  5  
3. 1  7  4  6  8  2  5  3  
4. 1  7  5  8  2  4  6  3  
5. 2  4  6  8  3  1  7  5  
6. 2  5  7  1  3  8  6  4  
7. 2  5  7  4  1  8  6  3  
8. 2  6  1  7  4  8  3  5  
9. 2  6  8  3  1  4  7  5  
10. 2  7  3  6  8  5  1  4  
11. 2  7  5  8  1  4  6  3  
12. 2  8  6  1  3  5  7  4  
13. 3  1  7  5  8  2  4  6  
14. 3  5  2  8  1  7  4  6  
15. 3  5  2  8  6  4  7  1  
16. 3  5  7  1  4  2  8  6  
17. 3  5  8  4  1  7  2  6  
18. 3  6  2  5  8  1  7  4  
19. 3  6  2  7  1  4  8  5  
20. 3  6  2  7  5  1  8  4  
21. 3  6  4  1  8  5  7  2  
22. 3  6  4  2  8  5  7  1  
23. 3  6  8  1  4  7  5  2  
24. 3  6  8  1  5  7  2  4  
25. 3  6  8  2  4  1  7  5  
26. 3  7  2  8  5  1  4  6  
27. 3  7  2  8  6  4  1  5  
28. 3  8  4  7  1  6  2  5  
29. 4  1  5  8  2  7  3  6  
30. 4  1  5  8  6  3  7  2  
31. 4  2  5  8  6  1  3  7  
32. 4  2  7  3  6  8  1  5  
33. 4  2  7  3  6  8  5  1  
34. 4  2  7  5  1  8  6  3  
35. 4  2  8  5  7  1  3  6  
36. 4  2  8  6  1  3  5  7  
37. 4  6  1  5  2  8  3  7  
38. 4  6  8  2  7  1  3  5  
39. 4  6  8  3  1  7  5  2  
40. 4  7  1  8  5  2  6  3  
41. 4  7  3  8  2  5  1  6  
42. 4  7  5  2  6  1  3  8  
43. 4  7  5  3  1  6  8  2  
44. 4  8  1  3  6  2  7  5  
45. 4  8  1  5  7  2  6  3  
46. 4  8  5  3  1  7  2  6  
47. 5  1  4  6  8  2  7  3  
48. 5  1  8  4  2  7  3  6  
49. 5  1  8  6  3  7  2  4  
50. 5  2  4  6  8  3  1  7  
51. 5  2  4  7  3  8  6  1  
52. 5  2  6  1  7  4  8  3  
53. 5  2  8  1  4  7  3  6  
54. 5  3  1  6  8  2  4  7  
55. 5  3  1  7  2  8  6  4  
56. 5  3  8  4  7  1  6  2  
57. 5  7  1  3  8  6  4  2  
58. 5  7  1  4  2  8  6  3  
59. 5  7  2  4  8  1  3  6  
60. 5  7  2  6  3  1  4  8  
61. 5  7  2  6  3  1  8  4  
62. 5  7  4  1  3  8  6  2  
63. 5  8  4  1  3  6  2  7  
64. 5  8  4  1  7  2  6  3  
65. 6  1  5  2  8  3  7  4  
66. 6  2  7  1  3  5  8  4  
67. 6  2  7  1  4  8  5  3  
68. 6  3  1  7  5  8  2  4  
69. 6  3  1  8  4  2  7  5  
70. 6  3  1  8  5  2  4  7  
71. 6  3  5  7  1  4  2  8  
72. 6  3  5  8  1  4  2  7  
73. 6  3  7  2  4  8  1  5  
74. 6  3  7  2  8  5  1  4  
75. 6  3  7  4  1  8  2  5  
76. 6  4  1  5  8  2  7  3  
77. 6  4  2  8  5  7  1  3  
78. 6  4  7  1  3  5  2  8  
79. 6  4  7  1  8  2  5  3  
80. 6  8  2  4  1  7  5  3  
81. 7  1  3  8  6  4  2  5  
82. 7  2  4  1  8  5  3  6  
83. 7  2  6  3  1  4  8  5  
84. 7  3  1  6  8  5  2  4  
85. 7  3  8  2  5  1  6  4  
86. 7  4  2  5  8  1  3  6  
87. 7  4  2  8  6  1  3  5  
88. 7  5  3  1  6  8  2  4  
89. 8  2  4  1  7  5  3  6  
90. 8  2  5  3  1  7  4  6  
91. 8  3  1  6  2  5  7  4  
92. 8  4  1  3  6  2  7  5  

上面一共输出的是92个结果。