Fibonacci数列求解方法总结

众所周知斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、……是面试中常考的问题，针对Fibonacci数列的求解方法有如下三种：

1、递归方法（Recursive）求解：
递归方法求解Fibonacci数列，可以说是大多数人首次接触到的求解方法，但是也同样存在了很严重的问题，例如：时间复杂度却是成指数倍的增长，因为有很多计算是重复了多次，导致这个方法却是最不可取的求解方法。
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：O(1)
代码如下（C/C++）：

int getFib(int n){    if (0 >= n)    //可具体询问非法输入时返回多少。    {        return 1;    }    return n <= 2 ? 1 : getFib(n-1) + getFib(n-2); }

2、迭代方法（Iterative way）求解：
利用for循环进行迭代，可以解决在求解过程中使用递归的方法导致的重复计算的操作，可有效的提高算法的效率。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
代码如下（C/C++）：

int getFib(int n) {    if (n <= 0)    {        return 1;    }    int a[N];    a[1] = a[2] = 1;    for (int i = 3; i <= n; ++i)    {        a[i] = a[i-1] + a[i-2];    }    return a[n];}

当然也可以做如下优化，当发现上述代码对于数组a[N]中，仅仅也就使用3个单位，于是可以使用x,y,z等一些变量来代替。更换后可降低空间复杂度。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
代码如下（C/C++）：

int getFib(int n) {    if (n <= 0)    {        return 1;    }    int x, y, z;    z = x = y = 1;    for (int i = 3; i <= n; ++i)    {        z = x + y;        y = x;        x = z;    }    return z;}

3、矩阵乘法（Matrix multiplication）求解：
由Fibonacci数列的特性可以知道：
（1）当n>1时，可以发现Fib(n)和Fib(n-1)是互质的
（2）若定义一个i为奇数，则f(i)*f(i) = f(i-1)*f(i+1)-1；若i为偶数，则f(i)*f(i)=f(i-1)*f(i+1)-1
（3）f(n)=f(i)*f(n-i-1)+f(i+1)*f(n-i)
f(n)=f(1)*f(n-2)+ f(2)*f(n-1)=f(2)*f(n-3)+ f(3)*f(n-2)=f(3)*f(n-4)+ f(4)*f(n-3)
由方法2可知，若要计算Fib(n)，就是要先保存，令a = f(1)，b = f(2)，然后在进行运算，使a’=b，b’=a+b
可把a，b看做一个向量[a, b]，然后乘以矩阵
0 1
1 1
即若要求第100个Fibonacci数，只需要将[1, 1]乘上
0 1
1 1
的100次方，再取出第一项即可。
时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(1)
代码如下（C/C++）：

double exp(int x, int k){    if (k == 0 && x == 0)    {        return 0；    }    if (k == 0)     {        return 1；    }    if (k < 0)     {        return 1.0 / exp(x, -k);    }    double tmp = exp(x, k >> 1);    return k % 2 == 1 ? tmp * tmp * x : tmp * tmp;}