动态规划_最大子数组|||_1

1. 【问题描述】    最大子数组|||

2. 【思路】    参考：LintCode:Maximum Subarray III

假设给定数组共有N个元素，需要找到K个不重合的子数组使其和最大。令符号（i, j）表示在数组前i个元素中找到j个不重合的和最大的子数组的和，符号[a,b]表示在子数组nums[a,a+1,...,b]中找到一个最大子数组，返回最大子数组的和。则有：

（i, j）=max{ （q, j）,（p, j-1）+[p+1, i], 其中j<=q<=i-1，j-1<=p<=i-1}

下面以N=6，K=4为例具体说明.首先构建二维数组dpk

（1,1）

（2,1）    （2,2）

（3,1）    （3,2）    （3,3）

                （4,2）    （4,3）    （4,4）

                                （5,3）    （5,4）

                                                （6,4）

（6,4）即为所求.根据（i, j）的表达式可以写出：

（1,1）=nums[0];

（2,2）=（1,1）+[2,2];

（3,2）=max{（2,2）,（2,1）+[3,3],（1,1）+[2,3]}；

（4,2）=max{（2,2）,（3,2）,（3,1）+[4,4],（2,1）+[3,4],（1,1）+[2,4]}；

（3,3）=（2,2）+[3,3];

（4,3）=max{（3,3）,（3,2）+[4,4],（2,2）+[3,4]};

（5,3）=max{（3,3）,（4,3）,（4,2）+[5,5],（3,2）+[4,5],（2,2）+[3,5]};

观察（2,2）与（3,2）的表达式可以发现：（2,2）=（1,1）+[2,2]<=（1,1）+[2,3]，所以（3,2）的表达式可以改写为：

（3,2）=max{（2,1）+[3,3],（1,1）+[2,3]}；

同理可以改写后面的表达式。基于此可以改写（i, j）的表达式：

（i, j）=max{ （p, j-1）+[p+1, i], 其中j-1<=p<=i-1}

观察上述（1,1）到（5,3）的表达式发现，加粗部分重复出现，所以可以用一个二维数组保存[a,b]的值避免重复计算.

下面的代码中，过程maxBE(nums,beg,end,dp1)计算[beg,end]，其中二维数组dp1保存[beg,end]的值避免重复计算

3. 【代码】    

class Solution {public:    /**     * @param nums: A list of integers     * @param k: An integer denote to find k non-overlapping subarrays     * @return: An integer denote the sum of max k non-overlapping subarrays     */         int maxBE(vector<int> &nums,int beg,int end,vector<vector<int>> &dp1) {        if(dp1[beg+1][end+1]!=INT_MIN) {            return dp1[beg+1][end+1];        }        if(beg==end) {            dp1[beg+1][end+1]=nums[beg];            return dp1[beg+1][end+1];        }        int mid=beg+(end-beg)/2;        int i=mid-1,left=nums[mid],ls=left;        while(i>=beg) {            ls+=nums[i];            left=left>=ls?left:ls;            i--;        }        int j=mid+2,right=nums[mid+1],rs=right;        while(j<=end) {            rs+=nums[j];            right=right>=rs?right:rs;            j++;        }        int left_sum=maxBE(nums,beg,mid,dp1),mid_sum=left+right,right_sum=maxBE(nums,mid+1,end,dp1);        dp1[beg+1][end+1]=(left_sum>=right_sum?left_sum:right_sum)>=mid_sum?(left_sum>=right_sum?left_sum:right_sum):mid_sum;        return dp1[beg+1][end+1];    }    int maxSubArray(vector<int> nums, int k) {        // write your code here        int N=nums.size();        if(N==0||k<=0||N<k) {            return -1;        }        vector<vector<int>> dpk(N+1,vector<int>(k+1,INT_MIN));        vector<vector<int>> dp1(N+1,vector<int>(N+1,INT_MIN));        for(int i=1;i<=N+1-k;++i) {            dpk[i][1]=maxBE(nums,0,i-1,dp1);        }        for(int j=2;j<=k;++j) {            for(int i=j;i<=N+j-k;++i) {                for(int p=j-1;p<=i-1;++p) {                    dpk[i][j]=dpk[i][j]>=(dpk[p][j-1]+maxBE(nums,p,i-1,dp1))?dpk[i][j]:(dpk[p][j-1]+maxBE(nums,p,i-1,dp1));                }//for            }//for        }//for        return dpk[N][k];    }};