Mobius函数计算 定义+代码模板

Mobius函数定义为，输入一个正整数N，当N=1时，函数值为1，当N不为1时，首先在稿纸上将它分解质因数，若某质因数的个数大于1，则函数值为0，如N=45，45=3*3*5,3出现了两次，故函数值为0。若质因数全都不相同，设有p个，则函数值为（-1）的p次方，如78,78=2*3*13，质因数全都不相同，有3个，所以函数值为（-1）的3次方，为-1。

f(n)和g(n)是定义在正整数集合上的两个函数，若
　　

则
　　

反之亦然。
　　其中
　　μ(d)=1, 若d=偶数个不同素数之积
　　μ(d)=(-1)r, 若d=奇数个不同素数之积
　　μ(d)=0, 其他

例如：

μ( 30) = μ( 2·3·5 ) = (－1)3

μ(12) = μ( 3·22) = 0

对任何素数p,μ(p)=-1

辅助定理

编辑

对于任意正整数n，恒有
　　

代码模板：

#include <stdio.h>// 一个数字可以有的最多不同质因数个数 #define MAX_PRIM_FACTOR_AMOUNT 1000 /*Mobius 函数定义为：    输入一个正整数N，当N=1时，函数值为1，        当N不为1时，首先在稿纸上将它分解质因数。    若某质因数的个数大于1，则函数值为0，    如N=45，45=3*3*5,3出现了两次，故函数值为0。        若质因数全都不相同，设有p个，则函数值为（-1）的p次方，    如78,78=2*3*13，质因数全都不相同，有3个，所以函数值为（-1）的3次方，为-1。*//*    功能：求  Mobius 函数的值    参数：        n        一个正整数          doPrint    是否输出正整数 n 的质因数分解形式。1：输出；0：不输出。              返回：         Mobius 函数的值*/int Mobius(unsigned int n, unsigned int doPrint){    // 用 m 来临时保存 m 的值。因此 n 的值在运算过程中会被改变。     int m = n;     // 用 i 来枚举 n 的质因数    int i;    // 数字 n 的不同质因数个数     int primeFactorAmount = 0;    // n 的某个质因数 i，出现在 n 中的次数     int countCurrentPrimeFactor = 0;    // Mobius 函数的值。初始值为 -3，表示还没有计算出函数值。     int result = -3;         // 记录所有质因数出现的次数。用于输出质因数分解形式。      int primFactors[MAX_PRIM_FACTOR_AMOUNT][2];          if(n == 0)    {// 【1】n==0 的情况，实际是非法的输入。这里返回 -2。         result = -2;    }    else if(n == 1)    {// 【2】n==1 的情况        result = 1;    }    else    {        for(i=2; i<=n ; i++)        {            countCurrentPrimeFactor = 0;            while(n % i == 0)            {                // 从数字 n 中除去质因数 i                 n /= i;                // 统计质因数 i 出现的次数                 countCurrentPrimeFactor ++;            }                        if(countCurrentPrimeFactor >= 1)            {// 数字 i 是数字 n 的质因数                 primFactors[primeFactorAmount][0] = i;                primFactors[primeFactorAmount][1] = countCurrentPrimeFactor;                primeFactorAmount ++;                                if(countCurrentPrimeFactor > 1)                {// 【3】 n 的某质因数的个数大于 1 的情况                     result = 0;                }                            }        }                        if(result == -3)        {// 【4】 n 有 p 个不同的质因数，返回 (-1)^p             result = (primeFactorAmount%2 ? -1 : 1);            }            }        if(doPrint)    {// 需要输出 n 的质因数分解形式        if(m <= 1)            printf("%d = %d\n", m , m);        else        {            printf("%d = ", m);            for(i=0; i<primeFactorAmount; i++)            {                printf("%d", primFactors[i][0]);                if(primFactors[i][1] > 1)                // 质因数出现多余一次，输出出现次数。                     printf("^%d", primFactors[i][1]);                                if(i < (primeFactorAmount-1))                    printf(" * ");            }            printf("\n");        }          }         return result;}int main(int argc, char *argv[]){    int n;    // 输入 n ，按 ctrl + z 停止输入     while(scanf("%d",&n) !=EOF)    {        printf("Mobius(%d) = %d\n", n, Mobius(n, 1));    }     return 0;}

/*测试数据：014578 12345678测试结果：00 = 0Mobius(0) = -211 = 1Mobius(1) = 14545 = 3^2 * 5Mobius(45) = 07878 = 2 * 3 * 13Mobius(78) = -11234567812345678 = 2 * 3^2 * 47 * 14593Mobius(12345678) = 0^Z */