非降路径+lucas定理

来源：互联网发布：彩虹代刷网源码编辑：程序博客网时间：2024/05/16 11:15

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标准的带限制条件的非降路径问题，从 (1,1) 到 (N,N) 的“非降路径”不能经过对角线。

证明见-离散课本P.199

因为n的数量级太大，所以要用Lucas定理。此处代码参考自，，忘了，exgcd

/*Lucas¶¨ÀíC(m+n,m)%pExe.Time    733MS*/#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const ll Mod = 10007;ll pow_mod(ll a,ll b,ll mod){    ll ans = 1;    a %= mod;    while(b)    {        if(b&1)            ans = ans * a % mod;        b >>= 1;        a = a*a%mod;    }    return ans;}ll GetC(ll n,ll m,ll mod){    if(m > n)        return 0;    if(m > n - m)        m = n - m;    ll a = 1,b = 1;    while(m)    {        a = a*n%mod;        b = b*m%mod;        m--;        n--;    }    return a * pow_mod(b,mod-2,mod)%mod;}ll Lucas(ll n,ll k,ll mod){    if(k == 0)        return 1;    return GetC(n%mod,k%mod,mod)*Lucas(n/mod,k/mod,mod)%mod;}void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return;    }    ll x1, y1;    Exgcd(b, a%b, x1 ,y1);    x = y1;    y = x1 - (a/b)*y1;}int main(){    ll n,x,y;    while(scanf("%lld",&n) != EOF)    {        Exgcd(n,Mod,x,y);        x = (x%Mod + Mod) % Mod;        x <<= 1ll;        ll ans = Lucas(n*2-2,n-1,Mod);        ans = ans * x % Mod;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

从（0，0）到（n，m）的带限制的非降路径

“玲珑杯”ACM比赛 Round #4 D

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int N = 1000005;const int MOD;typedef long long  LL;LL n,m,p;LL f[N];LL gcd(LL a,LL b)  {return b ? gcd(b,a%b) : a;}LL lcm(LL a,LL b)  {return a / gcd(a,b) * b;}void Init(LL p){    f[0] = 1;    for(int i = 1;i <= p;i++)        f[i] = (f[i-1]*i) % p;}LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD){    LL ans = 1;    while(b)    {        if(b%2)            ans = ans*a%MOD;        a = a*a%MOD;        b /= 2;    }    return ans;}LL Lucas(LL n,LL m,LL p){    LL ans = 1;    while(n && m)    {        LL a = n%p,b = m%p;        if(a < b)            return 0;        ans = (ans*f[a]*pow_mod(f[b]*f[a-b]%p,p-2,p))%p;        n /= p;m /= p;    }    return ans;}int main(){int t;cin >> t;LL n,m;while(t--){    Init(10007);scanf("%lld%lld",&n,&m);if(m == 0){puts("1");continue;}printf("%lld\n",(Lucas(m+n,m,MOD)-Lucas(m+n,m-1,MOD)+LL(MOD))%LL(MOD));}return 0;}

官方题解卡特兰数推得链接

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