学习笔记：斐波那契堆

先人竟留下如此神奇之物。。。。。。

引言：
    来考虑一个问题，
平面上6个点，A,B,C,D,E,F，假定已知其中一些点之间的距离，
现在，要求A到其它5个点，B,C,D,E,F各点的最短距离。

如下图所示：

      

经过上图，我们可以轻而易举的得到A->B,C,D,E,F各点的最短距离：

目的            路径              最短距离
A=>A，      A->A                0
A=>B，    A->C->B         3+2=5
A=>C，      A->C                3
A=>D，    A->C->D          3+3=6
A=>E，    A->C->E           3+4=7
A=>F，   A->C->D->F      3+3+3=9

    我想，如果是单单出上述一道填空题，要你答出A->B,C,D,E,F各点的最短距离，
一个小学生，掰掰手指，也能在几分钟之内，填写出来。

    我们的问题，当然不是这么简单，上述只是一个具体化的例子而已。
实际上，很多的问题，如求图的最短路径问题，就要用到上述方法，不断比较、不断寻找，以期找到最短距离的路径，此类问题，便是Dijkstra 算法的应用了。当然，还有BFS算法，以及更高效的A*搜寻算法。

    A*搜寻算法已在本BLOG内有所详细的介绍，本文咱们结合fibonacci堆实现Dijkstra 算法。
即，Dijkstra + fibonacci堆 c实现。

    我想了下，把一个算法研究够透彻之后，还要编写代码去实现它，才叫真正掌握了一个算法。本BLOG内经典算法研究系列，已经写了18篇文章，十一个算法，所以，还有10多个算法，待我去实现。

代码风格
    实现一个算法，首先要了解此算法的原理，了解此算法的原理之后，便是写代码实现。
在打开编译器之前，我先到网上搜索了一下“Dijkstra 算法+fibonacci堆实现”。

    发现：网上竟没有过 Dijkstra + fibonacci堆实现的c代码，而且如果是以下几类的代码，我是直接跳过不看的：

1、没有注释(看不懂)。
2、没有排版(不舒服)。
3、冗余繁杂(看着烦躁)。

 

fibonacci堆实现Dijkstra 算法

    ok，闲话少说，咱们切入正题。下面，咱们来一步一步利用fibonacci堆实现Dijkstra 算法吧。
前面说了，要实现一个算法，首先得明确其算法原理及思想，而要理解一个算法的原理，又得知道发明此算法的目的是什么，即，此算法是用来干什么的?

    由前面的例子，我们可以总结出：Dijkstra 算法是为了解决一个点到其它点最短距离的问题。
我们总是要找源点到各个目标点的最短距离，在寻路过程中，如果新发现了一个新的点，发现当源点到达前一个目的点路径通过新发现的点时，路径可以缩短，那么我们就必须及时更新此最短距离。

    ok，举个例子：如我们最初找到一条路径，A->B，这条路径的最短距离为6，后来找到了C点，发现若A->C->B点路径时，A->B的最短距离为5，小于之前找到的最短距离6，所以，便得此更新A到B的最短距离：为5，最短路径为A->C->B.

    好的，明白了此算法是干什么的，那么咱们先用伪代码尝试写一下吧(有的人可能会说，不是吧，我现在，什么都还没搞懂，就要我写代码了。额，你手头不是有资料么，如果全部所有的工作，都要自己来做的话，那就是一个浩大的工程了。:D。)。

    咱们先从算法导论上，找来Dijkstra 算法的伪代码如下：

1 DIJKSTRA(G, w, s)2   INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)  //1、初始化结点工作3   S ← 4   Q ← V[G]   //2、插入结点操作5   while Q ≠ 6       do u ← EXTRACT-MIN(Q)   //3、从最小队列中，抽取最小点工作7          S ← S ∪{u}8          for each vertex v ∈ Adj[u]9              do RELAX(u, v, w)  //4、松弛操作。

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伪代码毕竟与能在机子上编译运行的代码不同，还有很多工作要做。
首先，咱们看一下上述伪代码，可以看出，基本上，此Dijkstra 算法主要分为以下四个步骤：

1、初始化结点工作
2、插入结点操作
3、从最小队列中，抽取最小点工作
4、松弛操作。 

    ok，由于第2个操作涉及到斐波那契堆，比较复杂一点，咱们先来具体分析第1、2、4个操作：

1、得用O（V）的时间，来对最短路径的估计，和对前驱进行初始化工作。

1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)2   for each vertex v ∈ V[G]3        do d[v] ← ∞4           π[v] ← NIL      //O（V）5   d[s] 0

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我们根据上述伪代码，不难写出以下的代码：

1 void init_single_source(Graph *G,int s)2 { 3 for (int i=0;i<G->n;i++) { 4 d[i]=INF; 5 pre[i]=-1; 6 } 7 d[s]=0; 8 }

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2、插入结点到队列的操作

　　2  S ← 
　　3  Q ← V[G]   //2、插入结点操作

代码：

1 for (i=0;i<G->n;i++) 2        S[i]=0;

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4、松弛操作。
首先得理解什么是松弛操作：
    Dijkstra 算法使用了松弛技术，对每个顶点v<-V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径的估计。

 RELAX(u, v, w)     1  if d[v] > d[u] + w(u, v)     2     then d[v] ← d[u] + w(u, v)     3          π[v] ← u        //O（E）

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同样，我们不难写出下述代码：

1  void relax(int u,int v,Graph *G) 2      { 3          if (d[v]>d[u]+G->w[u][v]) 4         { 5             d[v] = d[u]+G->w[u][v];    //更新此最短距离6             pre[v]=u;     //u为v的父结点7         } 8      }

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再解释一下上述relax的代码，其中u为v的父母结点，当发现其父结点d[u]加上经过路径的距离G->w[u][v]，小于子结点到源点的距离d[v]，便得更新此最短距离。
    请注意，说的明白点：就是本来最初A到B的路径为A->B，现在发现，当A经过C到达B时，此路径距离比A->B更短，当然，便得更新此A到B的最短路径了，即是：A->C->B，C 即成为了B的父结点(如此解释，我相信您已经明朗。:D。)。
    即A=>B <== A->C->B，执行赋值操作。

    ok，第1、2、4个操作步骤，咱们都已经写代码实现了，那么，接下来，咱们来编写第3个操作的代码：3、从最小队列中，抽取最小点工作。

    相信，你已经看出来了，我们需要构造一个最小优先队列，那用什么来构造最小优先队列列?对了，堆。什么堆最好，效率最高，呵呵，就是本文要实现的fibonacci堆。

    为什么?ok，请看最小优先队列的三种实现方法比较：

 EXTRACT-MIN + RELAXI、  简单方式：  O（V*V + E*1）II、 二叉/项堆： O（V*lgV + |E|*lgV）       源点可达：O（E*lgV）       稀疏图时，有E=o（V^2/lgV），            =>   O（V^2）  III、斐波那契堆：O（V*lgV + E）

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其中，V为顶点，E为边。好的，这样我们就知道了：Dijkstra 算法中，当用斐波纳契堆作优先队列时，算法时间复杂度为O（V*lgV + E）。

    额，那么接下来，咱们要做的是什么列?当然是要实现一个fibonacci堆了。可要怎么实现它，才能用到我们
Dijkstra 算法中列?对了，写成一个库的形式。库?呵呵，是一个类。

        ok，以下就是这个fibonacci堆的实现：

  1 //:priorityqueue.h文件，外部参数说明  2 #include <vector>  3 #ifndef HEAP_DEF_RICKONE_20061123  4 #define HEAP_DEF_RICKONE_20061123  5 namespace Heap  6 {  7  //Binary Heap  8  template <class T>  9  class BinaryHeap 10  { 11   std::vector<T> h; 12   int n; 13  public: 14   BinaryHeap(); 15   void max_heapify(int i); 16   void min_heapify(int i); 17   void insert(const T &e); 18   T minnum() const; 19   T extract_min(); 20   void decrease_key(int x,const T &k); 21   void kill(int x); 22  }; 23  //Fibonacci Heap 24  template <class T> 25  class FibonacciHeap 26  { 27   enum{NEGATIVE_INFINITY=1985}; 28   struct fibnode 29   { 30    T data; 31    fibnode *p,*child,*left,*right; 32    int degree; 33    bool mark; 34   } *min; 35   unsigned long int n; 36  public: 37   FibonacciHeap();//Construct a Heap 38   ~FibonacciHeap(); 39   const fibnode* insert(const T &e); 40   T minnum() const; 41   T extract_min(); 42   void decrease_key(const fibnode *x,const T &k,int TAG=0); 43   void kill(const fibnode *x); 44   void heap_union(FibonacciHeap<T> &h); 45   //for test 46   void Display(); 47   void Print(int depth,fibnode *x); 48  private: 49   void release(fibnode *x); 50   void remove(fibnode *x); 51   void dblist_union(fibnode *a,fibnode *b); 52   void consolidate(); 53   void cut(fibnode *x,fibnode *y); 54   void cascading_cut(fibnode *y); 55  }; 56 } 57 #endif 58 //:binaryheap.h BinaryHeap实现 59 #include "priorityqueue.h" 60 template <class T> 61 Heap::BinaryHeap<T>::BinaryHeap() 62 { 63  h.push_back(T()); 64  n=1; 65 } 66 template <class T> 67 void Heap::BinaryHeap<T>::max_heapify(int i) 68 { 69  //float up 70  for(;i>1;) 71  { 72   int p=i/2; 73   if(h[i]<h[p]) 74   { 75    T temp(h[i]); 76    h[i]=h[p]; 77    h[p]=temp; 78    i=p; 79   } 80   else 81    break; 82  } 83 } 84 template <class T> 85 void Heap::BinaryHeap<T>::min_heapify(int i) 86 { 87  //float down 88  if(i<1 || i>=n) 89   return; 90  for(;;) 91  { 92   int left=i*2; 93   int right=left+1; 94   int smallest; 95   if(left>=n) 96    break; 97   if(right>=n) 98    smallest=left; 99   else100   {101    if(h[left]<h[right])102     smallest=left;103    else104     smallest=right;105   }106   if(h[smallest]<h[i])107   {108    T temp(h[i]);109    h[i]=h[smallest];110    h[smallest]=temp;111    i=smallest;112   }113   else114    break;115  }116 }117 template <class T>118 void Heap::BinaryHeap<T>::insert(const T &e)119 {120  if(n>=h.size())121   h.push_back(e);122  else123   h[n]=e;124  n++;125  max_heapify(n-1);126 }127 template <class T>128 T Heap::BinaryHeap<T>::minnum() const129 {130  if(n>1)131   return h[1];132  return T();133 }134 template <class T>135 void Heap::BinaryHeap<T>::decrease_key(int x,const T &k)136 {137  if(h[x]<k)138  {139   //error warning140   return;141  }142  h[x]=k;143  max_heapify(x);144 }145 template <class T>146 void Heap::BinaryHeap<T>::kill(int x)147 {148  if(x>=1 && x<n)149  {150   h[x]=h[n-1];151   min_heapify(x);152   n--;153  }154 }155 template <class T>156 T Heap::BinaryHeap<T>::extract_min()157 {158  if(n>1)159  {160   T min=h[1];161   kill(1);162   return min;163  }164  return h[0];165 }166 //:fibonacciheap.h FibonacciHeap实现167 //中间包括一些原用于测试的代码，可去掉168 #include "priorityqueue.h"169 template <class T>170 Heap::FibonacciHeap<T>::FibonacciHeap()171 {172  min=NULL;173  n=0;174 }175 template <class T>176 void Heap::FibonacciHeap<T>::release(fibnode *x)177 {178  if(x==NULL)179   return;180  fibnode *p=x,*q;181  do182  {183   q=p;184   p=p->right;185   release(q->child);186  }187  while(p!=x);188  do189  {190   q=p;191   p=p->right;192   //printf("deleting %d ...\n",q->data);193   delete q;194  }195  while(p!=x);196 }197 template <class T>198 Heap::FibonacciHeap<T>::~FibonacciHeap()199 {200  release(min);201 }202 template <class T>203 void Heap::FibonacciHeap<T>::remove(fibnode *x)204 {205  if(x==NULL)206   return;207  fibnode *l,*r;208  l=x->left;209  r=x->right;210  l->right=r;211  r->left=l;212  x->left=x;213  x->right=x;214 }215 template <class T>216 void Heap::FibonacciHeap<T>::dblist_union(fibnode *a,fibnode *b)217 {218  if(a==NULL || b==NULL)219   return;220  fibnode *al=a->left,*bl=b->left;221  al->right=b;222  a->left=bl;223  bl->right=a;224  b->left=al;225 }226 template <class T>227 const Heap::FibonacciHeap<T>::fibnode* Heap::FibonacciHeap<T>::insert(const T &e)228 {229  fibnode *x=new fibnode;230  x->degree=0;231  x->p=NULL;232  x->child=NULL;233  x->left=x;234  x->right=x;235  x->mark=false;236  x->data=e;237  if(min==NULL)238   min=x;239  else240   dblist_union(min,x);241  if(e<min->data)242   min=x;243  ++n;244  return (const fibnode*)x;245 }246 template <class T>247 T Heap::FibonacciHeap<T>::minnum() const248 {249  if(min==NULL)250   return T();251  return min->data;252 }253 template <class T>254 void Heap::FibonacciHeap<T>::heap_union(FibonacciHeap<T> &h)255 {256  dblist_union(min,h.min);257  if(min==NULL || (h.min !=NULL && h.min->data < min->data))258   min=h.min;259  n+=h.n;260  h.min=NULL;261 }262 template <class T>263 void Heap::FibonacciHeap<T>::consolidate()264 {265  fibnode *A[32]={NULL};266  fibnode *w=min;267  do268  {269   fibnode *x=w;270   w=w->right;271   int d=x->degree;272   while(A[d]!=NULL)273   {274    fibnode *y=A[d];275    if(y->data < x->data)276    {277     fibnode *tmp=x;278     x=y;279     y=tmp;280    }281    //282    if(y==min)283    {284     if(w==min)285      w=min->right;286     min=min->right;287    }288    remove(y);289    if(x->child==NULL)290     x->child=y;291    else292     dblist_union(x->child,y);293    y->p=x;294    x->degree++;295    y->mark=false;296    A[d]=NULL;297    d++;298   }299   A[d]=x;300  }301  while(w!=min);302  for(int i=0;i<32;++i)303  {304   if(A[i]!=NULL)305   {306    if(A[i]->data < min->data)307     min=A[i];308   }309  }310 }311 template <class T>312 T Heap::FibonacciHeap<T>::extract_min()313 {314  if(min==NULL)315   return T();316  T z=min->data;317  fibnode *x=min->child;318  if(x!=NULL)319  {320   while(x->right!=min->child)321   {322    x->p=NULL;323    x=x->right;324   }325   x->p=NULL;326  }327  //add each child of z to the root list328  dblist_union(min,min->child);329  //remove z from the root list330  fibnode *r=min->right;331  remove(min);332  //333  if(r==min)334  {335   delete min;336   min=NULL;337  }338  else339  {340   delete min;341   min=r;342   consolidate();343  }344  --n;345  return z;346 }347 template <class T>348 void Heap::FibonacciHeap<T>::cut(fibnode *x,fibnode *y)349 {350  if(y->child==x)351  {352   if(x->right==x)353    y->child=NULL;354   else355    y->child=x->right;356  }357  remove(x);358  y->degree--;359  dblist_union(min,x);360  x->p=NULL;361  x->mark=false;362 }363 template <class T>364 void Heap::FibonacciHeap<T>::cascading_cut(fibnode *y)365 {366  fibnode *z=y->p;367  if(z!=NULL)368  {369   if(y->mark==false)370    y->mark=true;371   else372   {373    cut(y,z);374    cascading_cut(z);375   }376  }377 }378 template <class T>379 void Heap::FibonacciHeap<T>::decrease_key(const fibnode *cx,const T &k,int TAG)380 {381  fibnode *x=(fibnode*)cx,*y=x->p;382  if(x->data < k)383   return;//error "new key is greater than current key x"384  x->data=k;385  if(y!=NULL && (TAG==NEGATIVE_INFINITY || (x->data < y->data)))386  {387   cut(x,y);388   cascading_cut(y);389  }390  if(TAG==NEGATIVE_INFINITY || x->data < min->data)391   min=x;392 }393 template <class T>394 void Heap::FibonacciHeap<T>::kill(const fibnode *cx)395 {396  decrease_key(cx,T(),NEGATIVE_INFINITY);397  extract_min();398 }399 400 //------------------------------FOR TEST----------------------------401 template <class T>402 void Heap::FibonacciHeap<T>::Display()403 {404  Print(0,min);405 }406 template <class T>407 void Heap::FibonacciHeap<T>::Print(int depth,fibnode *x)408 {409  int i;410  if(x==NULL)411  {412   for(i=0;i<depth;++i)413    printf(" ");414   printf("-\n");415   return;416  }417  fibnode *p=x,*q;418  do419  {420   q=p;421   p=p->right;422   for(i=0;i<depth;++i)423    printf(" ");424   printf("<%d> degree=%d\n",q->data,q->degree);425   Print(depth+1,q->child);426  }427  while(p!=x);428 }429 //:test.cpp 测试与使用430 #include "binaryheap.h"431 #include "fibonacciheap.h"432 int main(void)433 {434  Heap::FibonacciHeap<int> h;435  const Heap::FibonacciHeap<int>::fibnode *x;436  int a[]={3,7,1,2,3,12,5,4,-23,-4,0,2,-54},t=1;437  int b[]={43,-23,12};438  int i,n=sizeof(a)/sizeof(int);439  x=h.insert(a[0]);440  for(i=1;i<n;++i)441   h.insert(a[i]);442  h.extract_min();443  h.Display();444  printf("-=-=-=-=-=-=-=-\n");445  h.kill(x);446  h.Display();447  printf("-=-=-=-=-=-=-=-\n");448  printf("extract_min=%d\n",h.extract_min());449  return 0;450 }

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