第7课 求解Ax=0：主变量、特解

求解AX=0的步骤

对于矩阵A=⎡⎣⎢⎢1232462682810⎤⎦⎥⎥，求解AX=0。

很明显这个矩阵的第三行不是线性无关的，它是第一行和第二行的和。

首先进行消元

其中红色标记的为主元。
⎡⎣⎢⎢1232462682810⎤⎦⎥⎥−→−−−−−−−−−−−row3=row3−3×row1row2=row2−2×row1⎡⎣⎢⎢100200222244⎤⎦⎥⎥−→−−−−−−−−−−row3=row3−row2⎡⎣⎢⎢100200220240⎤⎦⎥⎥

消元后得到矩阵U,它是一个阶梯型矩阵，非零元素以一种阶梯形出现。

在本例中，主元的数据为2，该数字称为矩阵的秩(Rank),它等于矩阵消元后主元(privot)的个数。

现在我们有两个主元列(pivot columns)和两个自由列(free columns)。自由意味着，x2和x4(自由列所对应的列)可以任意取值。然后可以根据他们的取值算得主元列x1和x3的值。

回代，求特解

将U写成等式形式:

{x1+2x2+2x3+2x4=02x3+4x4=0

我们随便取一个特解x2=1,x4=0，则可以求得X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥⎥，它的任意倍数cX，还是AX=0的解。

然后我们取x2=0,x4=1，则可以求得X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢20−21⎤⎦⎥⎥⎥⎥

这两个解我们称为特解(special solutions)，根据这两个特解我可以线性组合出整个零空间。

X=c⎡⎣⎢⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥⎥+d⎡⎣⎢⎢⎢⎢20−21⎤⎦⎥⎥⎥⎥

现在我们把它串起来，如果矩阵经过消元后其主元的个数是r,那么他的秩是r，对于一个m×n的矩阵，它就有n-r个自由变量。

RREF 简化行阶梯型矩阵

reduced row echelon form

对于矩阵U=⎡⎣⎢⎢100200220240⎤⎦⎥⎥，我们可以继续消元，向上消元，使得主元上面的元素也变为0。然后使主元全部变为0。

⎡⎣⎢⎢100200220240⎤⎦⎥⎥−→−−−−−−−−−−row1=row1−row2⎡⎣⎢⎢100200020−240⎤⎦⎥⎥−→−−−−−−−row2=row2/2⎡⎣⎢⎢100200010−220⎤⎦⎥⎥=R

在Matlab中可以通过调用rrfe，把矩阵从A变成R。

RREF的用途

以上面的R为例，我们通过R可以立即得到两个矩阵，一个是两个主元列和主元行交汇成的一个单位矩阵I=[1001]另一个是两个自由行相交得到的矩阵F=[20−22]

RRFE相当于把U所对应的等式变得更简，化成下面的形式RX=0

{x1+2x2−2x4=0x3+2x4=0

看看上面的两个特解和I、F的关系。
X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢−210020−21⎤⎦⎥⎥⎥⎥。恰好等于[I−F]

WHY?

R矩阵的形式像这样[I0F0],I是一个r×r矩阵，F是一个n-r个自由列。

我们构造一个矩阵，它的列是这些特解。这个矩阵我们称之为N=[−FI]，这样RN=0

举例

矩阵A=[123 246 268 2810],很容易通过计算得到，它也有两个主元。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢1222246836810⎤⎦⎥⎥⎥⎥→⎡⎣⎢⎢⎢⎢100020243024⎤⎦⎥⎥⎥⎥−→−−−得到U⎡⎣⎢⎢⎢⎢100022003200⎤⎦⎥⎥⎥⎥−→−−得到R⎡⎣⎢⎢⎢⎢100001001100⎤⎦⎥⎥⎥⎥

X=c⎡⎣⎢⎢−1−11⎤⎦⎥⎥=c[−FI]