【数论】乘法逆元
来源:互联网 发布:java sessionscoped 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 07:06
在求解除法取模问题
但是如果b很大,则会出现爆精度问题,所以我们避免使用除法直接计算。
可以使用逆元将除法转换为乘法:
假设b存在乘法逆元,即与m互质(充要条件)。设c是b的逆元,即
即,除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。
- 逆元求解一般利用扩展欧几里得。
- 当
m 为质数的时候直接使用费马小定理,m非质数使用欧拉函数。 - 当
m 为质数的时候,神奇的线性方法。
扩展欧几里得算法:
要求
代码:
int extgcd(int a, int b, int& x, int& y){ int d = a; if(b != 0){ d = extgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x; }else { x = 1; y = 0; } return d;}int mod_inverse(int a, int m){ int x, y; extgcd(a, m, x, y); return (m + x % m) % m;}
费马小定理:
在
如果
可以在
代码:
ll mult(ll a,ll n) //求a^n%mod{ ll s=1; while(n) { if(n&1)s=s*a%mod; a=a*a%mod; n>>=1; } return s;} //mult(a,n-2);
欧拉函数:
令
如果
在
思路:
关键是求出欧拉函数的值。
利用欧拉函数的积性性质:
对于任意整数
n ,可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm ,其中pi 为质数。其中
ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm) 最后转化为
ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi
对给定n进行整数分解。时间复杂度
int eurler_phi(int n){ int res = n; for(int i = 2; i * i <= n; i++){ if(n % i == 0){ res = res / i * (i - 1); while(n % i == 0) n /= i; } } if(n != 1) res = res / n * (n - 1); return res;}
筛法求欧拉函数值的表,利用埃氏筛法,每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上
当n为奇数时,有
ϕ(2n)=ϕ(n) 因为2n是偶数,偶数与偶数一定不互素,所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况,则恰好就等于n的欧拉函数值。
int euler[maxn];void euler_phi2(){ for(int i = 0; i < maxn; i++) euler[i] = i; for(int i = 2; i < maxn; ++i){ if(euler[i] == i){ for(int j = i; j < maxn; j += i){ euler[j] = euler[j] / i * (i - 1); } } }}
线性时间求所有逆元:
规定
设
两边同时乘以
从头开始扫一遍即可,时间复杂度
代码:
int inv[maxn];inv[1] = 1;for(int i = 2; i < maxn; i++) inv[i] = (p - p / i) % p * inv[p % i];
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