求两个整数的最大公约数
来源:互联网 发布:网络在线测速 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 01:52
要求:方法传两个正整型参数,返回值就是他们的最大公约数,尽可能保证性能。
第一:暴力枚举 时间复杂度是O(min(a, b)))
第二:辗转相除法--欧几里得算法---时间复杂度不太好计算,可以近似为O(log(max(a, b))),但是取模运算性能较差。
该算法基于一个定理:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。-----使用递归的方法把问题逐步简化。首先,我们先计算出a除以b的余数c,把问题转化成求出b和c的最大公约数;然后计算出b除以c的余数d,把问题转化成求出c和d的最大公约数;再然后计算出c除以d的余数e,把问题转化成求出d和e的最大公约数……
第三:更相减损术---原理更加简单:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。当两个数相差比较大的时候运算次数过多,不稳定。---避免了取模运算,但是算法性能不稳定,最坏时间复杂度为O(max(a, b)))
第四:把辗转相除与更相减损结合
不但避免了取模运算,而且算法性能稳定,时间复杂度为O(log(max(a, b)
移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b,不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数:
当a和b均为偶数,gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
当a为偶数,b为奇数,gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
当a为奇数,b为偶数,gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
当a和b均为奇数,利用更相减损术运算一次,gcb(a,b) = gcb(b, a-b), 此时a-b必然是偶数,又可以继续进行移位运算。
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