codeforces 722E

题目大意

在一个n∗m的网格图中，你要从(1,1)走到(n,m),每次只能向右或者向下。
其中有k个障碍点，一条路径每经过1个障碍分数就会从s,变成⌈s2⌉.
你最开始的分数为s,问期望的分数，对1000000007取模。

解题思路

可知分数只有logs种。
那么我们只需求出每种>1的分数共有多少种走法即可。

我们先把障碍按x为第一关键字，y为第二关键字排序。

令fi为第i个障碍直接走到(n,m)中间不经过其他障碍的方案数。

显然fi=way(xi,yi,n,m)−∑kj=i+1way(xi,yi,xj,yj)∗fj

现在经过的障碍数不一定为0，怎么做？

我们设gi,v为i个障碍直接走到(n,m)中间经过v个其他障碍的方案数。

则gi,0=fi.

对于v>0，我们枚举中间经过的倒数第v+1个障碍是什么，容斥一下即可。
gi,v=way(xi,yi,n,m)−∑kj=i+1way(xi,yi,xj,yj)∗gj,v−∑v−1j=0gi,j

这样行了。

参考代码

#include<cstdio> #include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)#define maxn 100005#define maxm 2005#define mo 1000000007#define ll long long#define maxsq 22using namespace std;struct note{    int x,y;}a[maxm];int n,m,tot,s;ll p[2*maxn],q[2*maxn];ll g[maxm][maxsq];ll mul(ll x,ll y){    ll ret=1;    while (y) {        if (y % 2==1) ret=ret*x % mo;        x=x*x % mo;        y /=2 ;    }    return ret;}bool cmp(note i,note j){    return i.x<j.x || i.x==j.x && i.y<j.y;}ll C(ll x,ll y){    if (x==y) return 1;    if (y==0) return 1;    if (x==0) return 0;    return p[x]*q[y] % mo * q[x-y] % mo;}ll way(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2) {    if (x2<x1 || y2<y1) return 0;    return C(x2-x1+y2-y1,x2-x1);}int main(){    p[0]=q[0]=1;    fo(i,1,200000) p[i]=p[i-1] * i % mo;    q[200000]=mul(p[200000],mo-2);    fd(i,199999,1) q[i]=q[i+1] * (i+1) % mo;    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&tot,&s);    fo(i,1,tot) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);    sort(a+1,a+tot+1,cmp);    a[0].x=1;    a[0].y=1;    fd(i,tot,0) {        fo(j,0,20) {            g[i][j]=way(a[i].x,a[i].y,n,m);            fo(k,i+1,tot) {                g[i][j]=((g[i][j]-g[k][j]*way(a[i].x,a[i].y,a[k].x,a[k].y)) % mo+mo) % mo;            }            fo(k,0,j-1) g[i][j]=(g[i][j]-g[i][k]+mo) % mo;        }    }    ll ans1=0,ans2=0,totw=0;    int num=0;    while (s!=1) {        ans1=(ans1+s*g[0][num]) % mo;        totw=(totw+g[0][num]) % mo;        s=s / 2+(s % 2);        num++;    }    ans2=way(1,1,n,m);    totw=(ans2-totw+mo) % mo;    ans1=(ans1+totw) % mo;    ans2=mul(ans2,mo-2);    ans1=(ans1*ans2) % mo;    printf("%lld",ans1);    return 0;}