二分图匹配——定义，经典模型以及简单的匈牙利算法

二分图的定义：

二分图是这样的一个图，它的顶点可以分为两个集合X和Y。所有的边关联的两个顶点中，恰好一个属于集合X，一个属于集合Y。

二分图的匹配：

给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

经典模型：

USACO题库：4.2.2 The Perfect Stall完美的牛栏

意思有n头奶牛，m个牛栏，每个牛栏只能供一头牛休息，牛们只会在自己喜爱的牛栏里休息，问你最多有几头牛能够休息。

明显这是一个二分图，要我们求最大匹配数。

匈牙利算法

匈牙利算法就是每次都暴力增广，最坏情况是O(n^3),但是相比最大流实现优点是复杂度较低。

#include<cstdio>#define fo(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)using namespace std;const int maxn=205;int n,m,x,y,t,ans,bz[maxn],d[maxn],a[maxn][maxn];bool find(int x){    fo(i,1,a[x][0]){        int y=a[x][i];        if(bz[y]!=t){            bz[y]=t;            if(!d[y] || find(d[y])){                d[y]=x;                return 1;            }        }    }    return 0;}int main(){    scanf("%d %d",&n,&m);     fo(i,1,n){        scanf("%d",&a[i][0]);        fo(j,1,a[i][0])            scanf("%d",&a[i][j]);    }    fo(i,1,n)        t=i, ans+=find(i);    printf("%d",ans);}