算法笔试题(二)：约瑟夫环问题

有N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报到M的人出列，求最后一个出列的人。

先将这个题目转换成数学问题：设有n个人（编号0~(n-1)），从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数    （用数学方法解的时候需要注意应当从0开始编号，因为取余会取到0解。）

实质是一个递推，n个人中最终留下来的序号与n-1个人中留下来的人的序号有一个递推关系式。

假设除去第k个人，则

0, 1, 2, 3, ..., k-2, k-1, k, ..., n-1　         // 原始序列　(1)

0, 1, 2, 3, ..., k-2,      , k, ..., n-1　　      // 除去第k人，即除去序号为k-1的人   (2)

k, k+1, ..., n-1,    0,    1,        ..., k-2　　// 以序号k为起始，从k开始报0  (3)

0, 1,     ..., n-k-1, n-k, n-k+1, ..., n-2　  // 作编号转换，此时队列为n-1人　 (4)

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，注意(1)式和(4)式，是同一个问题，不同的仅仅是人数。比较(4)和(3)，不难看出，0+k=k, 1+k=k+1, ... ，(3)式中'0'后面的数字，（(n-3)+k）%n=k-3,（(n-2)+k）%n=k-2, 对于(3)式中'0'前面的数字，由于比n小，也可看作(0+k)%n=k,  (1+k)%n=k+1,  故可得出规律：

设(3)中某一数为x' , (4)中对应的数为x，则有：x'=(x+k)%n.

设x为最终留下的人序号时，队列只剩下1人时，显然x=0; 此时可向前回溯至2人时x对应的序号，3人时x对应的序号……直至n人时x的序号，即为所求。

递归法表示如下：

#include <stdio.h>int main(){    int N,M,s=0;    scanf("%d%d",&N,&M);    for (int i=2;i<=N;++i)        s=(s+M)%i;    printf("%d\n",s+1);    return 0;}