[笔试]约瑟夫环问题

问题描述：约瑟夫环（Josephus）问题是[1]由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。 

　约瑟夫环问题的具体描述是：设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。

解法一(My Solution)：

      思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 链表节点typedef struct _RingNode{    int pos;  // 位置    struct _RingNode *next;}RingNode, *RingNodePtr;// 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count){    RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;    int i = 1;    pPrev = pHead;    while(--count > 0)    {        pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));        i++;        pCurr->pos = i;        pPrev->next = pCurr;        pPrev = pCurr;    }    pCurr->next = pHead;  // 构成环状链表}void PrintRing(RingNodePtr pHead){    RingNodePtr pCurr;    printf("%d", pHead->pos);    pCurr = pHead->next;    while(pCurr != NULL)    {        if(pCurr->pos == 1)            break;        printf("\n%d", pCurr->pos);        pCurr = pCurr->next;    }}void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m){    RingNodePtr pCurr, pPrev;    int i = 1;    // 计数    pCurr = pPrev = pHead;    while(pCurr != NULL)    {        if (i == m)        {            // 踢出环            printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序            pPrev->next = pCurr->next;            free(pCurr);            pCurr = pPrev->next;            i = 1;        }        pPrev = pCurr;        pCurr = pCurr->next;        if (pPrev == pCurr)        {            // 最后一个            printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序            free(pCurr);            break;        }        i++;    }}int main(){    int m = 0, n = 0;    RingNodePtr pHead = NULL;    printf("---------------Josephus Ring---------------\n");    printf("N(person count) = ");    scanf("%d", &n);    printf("M(out number) = ");    scanf("%d", &m);    if(n <= 0 || m <= 0)    {        printf("Input Error\n");        system("pause");        return 0;    }    // 建立链表    pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));    pHead->pos = 1;    pHead->next = NULL;    CreateRing(pHead, n);#ifdef _DEBUG    PrintRing(pHead);#endif    // 开始出圈    printf("\nKick Order: ");    KickFromRing(pHead, m);        printf("\n");    system("pause");    return 0;}

解法二(From Net)：

思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

先总结一下约瑟夫环的递推公式：
f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
f[1]=1;　f[i]=(f[i-1]+m)%i (i>1); if(f[i]==0) f[i]=i;
P(1, m, k)=1 (i = 1); P(i, m, k)=[P(i - 1, m, k ) + m - 1] % i + 1 (i > 1, 此处先减1是为了让模i的值不为0)
那么这三个公式有什么不同？
首先可以肯定的是这三个公式都正确。公式1，得到的是以0～n-1标注的最终序号；公式2，3得到的就是正常的1~n的序号；并且公式2和公式3其实是一个意思。下面我们就分别推导三个公式，并且推导的过程中，你也就能明白这三个公式的共同点和不同点。

公式1的推导：——————————
给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。
a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1
那么，出列的序号是(m-1)%n，k=m%n（这个可真的是显而易见）。出列k-1后，序列变为
b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1
然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到
c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2
我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列
c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2
好了，整个序列c都减除一个k，得到
d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。
这样你看，从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok，继续向下。
剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x，那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`，不就是知道了最终的结果了么？

下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。
d->c，这个变换很容易，就是x+k；
c->b，这个变换是网上大家都一带而过的，也是令我郁闷的一个关键点。从b->c，其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列，那么再翻转回去，简单的就是%n，即(x+k)%n。%n以后，k~n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。
于是乎，我们就知道了，x`=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然，i=1就是特殊情况了，f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。
好了，这个最后需要注意的就是从一开始，我们将n序列从0～n-1编号，所以依据公式1得出的序号是基于0开始的。

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>int main(){    int n, m, i, s = 0;    printf ("N M = ");    scanf("%d%d", &n, &m);    for (i = 2; i <= n; i++)    {        s = (s + m) % i;    }    printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);}

解法三：

思路非常简单，按模来找到要删除得位置，但是，主要到下标从0开始和数字从1开始是有一些不一样得，另外，py的del后，下标会增1，所以要减回去。

正确看是

del link[ind-1]

ind-=1

但是，因为两者都需要后退1,所以直接ind-=1就OK了。

另外要主要得是，来到环尾部，即py的-1(这点就是最好的地方，py得tuple 和list 支持负下标)，删除后，开始就要变成0

def josephus(n,k):    link=range(1,n+1)     ind=0    for loop_i in range(n-1):        ind = (ind+k)% len(link)         ind-=1        print 'Kill:',link[ind]        del link[ind]        if ind==-1: # the last element of link            ind=0    print 'survice :',link[0]   if __name__ == '__main__':    josephus(100000,300)    print '-'*30    josephus(10,5)    print '-'*30    josephus(10,1)

解法四：循环队列：

#include<stdio.h>#define MAX 100int front=MAX-1;int rear=MAX-1;void enqueue(int q[],int x)//入队算法{    rear=(rear+1)%MAX;q[rear]=x;}int dequeue(int q[])//出队算法{    front=(front+1)%MAX;return q[front];} int main(){    int m,i,n;int q[MAX],k=0,y;scanf("%d%d",&m,&n);for(i=1;i<=m;i++)enqueue(q,i);while(front!=rear){    y=dequeue(q);k++;if(k%n==0)    continue;else    enqueue(q,y);}printf("%d\n",y);return 0;}

转载：http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html

         http://hi.baidu.com/anywei/item/294351b5f432f144ba0e12f2

         http://blog.csdn.net/dengyaolongacmblog/article/details/39208675