暗黑字符串

题目：

一个只包含'A'、'B'和'C'的字符串，如果存在某一段长度为3的连续子串中恰好'A'、'B'和'C'各有一个，那么这个字符串就是纯净的，否则这个字符串就是暗黑的。例如：
BAACAACCBAAA 连续子串"CBA"中包含了'A','B','C'各一个，所以是纯净的字符串
AABBCCAABB 不存在一个长度为3的连续子串包含'A','B','C',所以是暗黑的字符串
你的任务就是计算出长度为n的字符串(只包含'A'、'B'和'C')，有多少个是暗黑的字符串。

输入描述:

输入一个整数n，表示字符串长度(1 ≤ n ≤ 30)

输出描述:

输出一个整数表示有多少个暗黑字符串

输入例子:

2
3

输出例子:

9
21

解析：

假设现在字符串中有i个字符，并且满足条件，那么第i+1个字符的选取情况与第i-1和第i个字符的状态（用S表示）有关：若S='AA'，那么第i+1个字符可以选取'A','B','C'中任意一个；若S=‘AB’，那么第i+1个字符只能取'A'或'B'，如果选取'C'，就会产生纯净的字符串；若S='AC'，那么第i+1个字符只能取'A'或'C'。由题意可知S有9种状态，其他6中状态的转移情况同理。这样，我们就可以在状态转移过程中统计暗黑的字符串的个数。此处有些类似于动态规划，不过动态规划是在每一步状态转移的时候选取最优方案，从而使最终方案最优；而此处是在状态转移过程中避免产生纯净字符串，同时统计暗黑的字符串的个数。

状态转移方程：

dp[i+1][0]=dp[i][0]+dp[i][3]+dp[i][6]

dp[i+1][1]=dp[i][0]+dp[i][3]

dp[i+1][2]=dp[i][0]+dp[i][6]

dp[i+1][3]=dp[i][1]+dp[i][4]

dp[i+1][4]=dp[i][1]+dp[i][4]+dp[i][7]

dp[i+1][5]=dp[i][4]+dp[i][7]

dp[i+1][6]=dp[i][2]+dp[i][8]

dp[i+1][7]=dp[i][5]+dp[i][8]

dp[i+1][8]=dp[i][2]+dp[i][5]+dp[i][8]

其中dp数组的第一维表示字符串长度，第二维的9个值分别表示字符串最后两个字符的9中状态，对应关系如下：

0->AA  1->AB  2->AC  3->BA  4->BB  5->BC  6->CA  7->CB  8->CC

那么dp[i][0]就表示长度为i并且最后两位字符为AA的暗黑的字符串的个数，其他同理。

上述状态转移方程中第一个式子表达的意思就是：

长度为i+1并且最后两个字符为AA的字符串来源有三类：长度为i并且最后两个字符为AA或BA或CA的字符串，添加字符A即可；其它式子同理；

要注意这里用long来保存，不然大数据通过不了。

public class Main {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint AA=0,AB=1,AC=2,BA=3,BB=4,BC=5,CA=6,CB=7,CC=8;long[][] dp=new long[31][9];Arrays.fill(dp[2], 1);for(int i=2;i<30;i++){dp[i+1][AA]=dp[i][AA]+dp[i][BA]+dp[i][CA];dp[i+1][AB]=dp[i][AA]+dp[i][BA];dp[i+1][AC]=dp[i][AA]+dp[i][CA];dp[i+1][BA]=dp[i][AB]+dp[i][BB];dp[i+1][BB]=dp[i][AB]+dp[i][BB]+dp[i][CB];dp[i+1][BC]=dp[i][BB]+dp[i][CB];dp[i+1][CA]=dp[i][AA]+dp[i][AC];dp[i+1][CB]=dp[i][BC]+dp[i][CC];dp[i+1][CC]=dp[i][AC]+dp[i][BC]+dp[i][CC];}Scanner sc=new Scanner(System.in);while(sc.hasNext()){int n=sc.nextInt();long result=0;for(int i=0;i<9;i++){result+=dp[n][i];}System.out.println(result);}}}

另外一种思路，比较难想：

当前位置的纯净只跟前两个字母有关

假设 f(n)=s(n)+d(n) (s(n)表示前两个字母相同比如AA，D(n)表示两个字母不同比如AB）

对于s(n-1)  当前字母可以取ABC中任意一种情况，即3*s(n-1)

对于d(n-1) 当前字母只能去前两个字母中的任何一个，即2*d(n-1)

f(n)=3*s(n-1)+2*d(n-1)=2f(n-1)+s(n-1)

现在剩余一个s(n-1)待求解

我们这样想s(n)跟之前的字母又有什么关系呢

对于s(n-1) AA 第三个字母只能跟之前一样AAA 才能得到s(n)   

对于d(n-1) AB 第三个字母只有跟最后一个一样ABB 才能得到s(n)

可以得到结论 s(n)=s(n-1)+d(n-1)=f(n-1)

原表达式可以修改为

f(n)=2*f(n-1)+f(n-2) 这样就可以用动态规划了

源代码如下：

import java.util.*;  public class Main  {      public static void main(String args[])      {          Scanner in=new Scanner(System.in);          while(in.hasNextInt())          {              int n=in.nextInt();              long[] dp=new long[n+1];              dp[1]=3;              dp[2]=9;              for(int i=3;i<=n;i++)              {                  dp[i]=2*dp[i-1]+dp[i-2];              }              System.out.println(dp[n]);          }      }  }