【数学专题】 卡特兰数

 给一个凸n边形，用n-3条不相交的对角线把它分成n-2个三角形，求不同的方法数目。

设答案为f(n)。 按照某种顺序给凸多边形的各个顶点编号为V1,V2, … , Vn。 既然分成的是
三角形，边V1Vn在最终的剖分中一定恰好属于某个三角形V1VnVk，所以可以根据k进行分
类。 不难看出，三角形V1VnVk的左边是一个k边形，右边是一个n-k+1边形（如图10-8（a）所
示）。 根据乘法原理，包含三角形V1VnVk的方案数为f(k)f(n-k+1)；根据加法原理有：
f(n)=f(2)f(n-1) + f(3)f(n-2) +…+ f(n-1)f(2)
边界是f(2)=f(3)=1。 不难算出从f(3)开始的前几项f值依次为：1、2、5、14、42、132、
429、1430、4862、16796

另一种思路是考虑V1连出的对角线。 对角线V1Vk把凸n边形分成两部分，一部分是k边
形，另一部分是n-k+2边形（如图10-8（b）所示）。 根据乘法原理，包含对角线V1Vk的凸多
边形有f(k)f(n-k+2)个。 根据对称性，考虑从V2、V3、…、Vn出发的对角线也会有同样的结
果，因此一共有n(f(3)f(n-1)+f(4)f(n-2)+…+f(n-1)f(3))个部分。

但这并不是正确答案，因为同一个剖分被重复计算了多次！不过这次不必去消除重复
了，因为这些重复很有规律：每个方案恰好被计算了2n-6次——有n-3条对角线，而考虑每
条对角线的每个端点时均计算了一次。 这样，得到了f(n)的第2个递推式：
f(n) = (f(3)(n-1)+f(4)f(n-2)+…+f(n-1)f(3))×n/(2n-6)
它和第一个递推式有几分相似，但又不同。 把n+1代入第1个递推式后得到：
f(n+1)=f(2)f(n) + f(3)f(n-1) + f(4)f(n-2) +…+ f(n-1)f(3)+ f(n)f(2)

红色部分根据第2个递推式，它等于f(n)•(2n-6)/n，把它和f(2)=1一起代入上
式得

f(n+1) = (4n-6)*f(n)/n

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式^[1] ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式^[2] ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

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