萌新瞎讲网络流之最大流【不定期更新理解篇】

【不定期更新篇（未成形篇）】

一直在搞，就像吃很恶习的东西，好想吐；

但还是可以理解成良药苦口啊~；

基础知识定义：

网络是一种特殊的有向图。

有向加权图G，指定两个定点S和T，分别称为源和汇。边上的权值称为容量；

网络中的一个可行流并不是改路线中所有边的容量的简单相加，这段路线的总承重量受路线中最小容量边的制约。

寻找方案使得总运输量最大，这就是网络流算法需要解决的问题；

通俗的讲：（我将说路就是管道，路的权值就是管道的容量）

在一个网络中，往源点灌水，然后从源点水开始流向汇点，

【只考虑在单位时间下】

1.如果从大的流分流，分开的流的总和是小于这个流的，那么支流的流量就是本身的容量，见下图（1）；

2.如果从小的流往大的容量的管道，那么对于大的管道来说，水流过来才这么点，所以大的管道也才只有之前的那么多水而已啊，见图（2）；

一个网络中的最大流就是指该网络中流值最大的流，只是指了某条特定的流，而我们是要通过方法来计算这个最大流的流值是多大。

 

感觉先搞一下网络流算法EK算法的流程好像还是不懂，真的好无力啊。

可以先打一遍！！！（推荐）；

大致流程就是BFS一下，找到一条增广路，搞出一个最小的流值，从源到汇上的路的权值减去这个流值，并且在汇到源上权值加上这个流值；

FF方法的具体步骤（摘自图论书）：

（1）：初始化网络中所有边的容量，c<u,v>继承该边的容量，c<v,u>初始化为0，其中边<v,u>即为回退边。初始化最大流为0；

（2）：在残留网络中找出一条从源S到汇T的增广路p。如果能找到，则转步骤（3）；

如不能找到，则转步骤（5）.

（3）：在增广路p中找出所谓的“瓶颈”边，即路径中容量最小的边，记录下这个值X，并且累加到最大流中，转步骤（4）。

（4）：将增广路中所有c< u , v >减去X，所有c<v,u>加上X，构成新的残留网络。转步骤（2）.

（5）：得到网络的最大流，退出。

 

const intN=110;      //最大点个数intma[N][N],n,p[N];  //ma:邻接数组；n：点数；p：前驱数组bool EK_bfs(){    queue<int>q;//队列bool flag[N];//标记数组//初始化    memset(flag,false,sizeof(flag));    memset(p,-1,sizeof(p));     while(!q.empty())        q.pop();    flag[1]=true;    q.push(1);     while(!q.empty())    {        int u=q.front();        q.pop();        if(u==m)        //当队列弹出的点为终点时即可判增广路已经找到；            return true;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            if(ma[u][i]&&!flag[i])//当边容量非0，且增广点未标记            {                flag[i]=true;                p[i]=u;        //记录前驱                q.push(i);            }        }    }    return false;} int EK(){    int u,ans=0,mm;    while(EK_bfs())//当增广成功的时候    {        mm=INF;        u=m;        while(p[u]!=-1)        {            mm=min(mm,ma[p[u]][u]);            u=p[u];     //寻找到“瓶颈”边，并且记录容量（也可以在BFS过程中求出）        }        ans+=mm;  //累加进最大流        u=m;        while(p[u]!=-1) //修改路径上边的容量；        {            ma[p[u]][u]-=mm;            ma[u][p[u]]+=mm;            u=p[u];                  }    }    return ans;}

 

感觉打完了一发。。。还是好难理解是不是，模拟一发吧。。。

原题链接（http://poj.org/problem?id=1273）

给你4个点，5条边；

5 4

1 2 40//代表1到2有40的容量

1 4 20

2 4 20

2 3 30

3 4 10

然后模拟（我就记录个flow的结果，细节上的自行模拟了…）

一开始进去：

初始化，

从源 1 开始，

1->2,flow[2]=40;  2入队；

1->4,flow[4]=20;  4入队；

2->3,flow[3]=min(flow[2],ma[2][3])=20;

2->4,不需要，4已经处理过了

4出队=汇点，返回；

然后回溯一下：找到一个最小的流，然后更新，将找到的增广路把这个残留网络额外的流减去，反向边加上这个值

……

一直循环到找不到增广路为止；

 

可惜。。。真心好难理解啊。。打完还是似懂非懂，其实最重要的两步就是BFS找增广路，然后构造一下残留网路，一直循环，然后直到找不到增广路，当前的流值，就是最大流；

然后理解Dinic算法，推荐：Comzyh的博客

基本流程：

1.根据残留网络计算层次图；

2.在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路

3.重复以上步骤直到无法增广

 

--------补充说明一个找增广的问题；

给出这样一副图：

先找到的增广有:

路      流量     转化成    路   流量    路   流量

1->2     2                    1<-2    2      1->2   0

2->4     2                    4<-2    2      2->4   0

4->6     2                    6<-4    2      4->6   0

ok，这样就是找到一个完全的增广；ans+=2;

继续；

1->3     1                    3<-1    1     1->3   0

3->4     1                    4<-3    1     3->4   0

4->2     2                    2->4    1     4->2   1

2->5     1                    5->2    1     2->5   0

5->6     1                    6->5    1     5->6   0

ok，又是一个增广 ；ans+=1;

终点阐述反向弧的作用：

反向弧可以理解我给这条路分配了x的流量，我建立一个反向弧，等下给自己一个后悔的机会。

比如上面那个第一次找增广过程中4->2建立反向弧，在第二次找增广的时候利用了这个反向弧；

我们可以理解之前我先安排2单位水通过这条路，不要理解成是这条路给的流量，流量都是从源点出发的，很自然这条路上的流量是上面那条路的流量流过来。

对于第一次，留多少呢，我先流个2吧，然后给自己一个机会（建立一个反向弧），等会可能我往这个方向不流2，比如第二次找到了，我可以去别的方向流1，那多个机会流还不好啊，形象上的理解就是上面那个点出来的分流了；

那么还有一个问题，怎么理解反向弧前面的那些路呢？

 是不是可以理解这条路(3->4)的流能到达路(2->4)到达4这个点，然而4以后已经阻断了，或者说已经塞了一部分流量了，

然后呢可以利用路(2->4)的反向弧(4->2)，索取一部分他的，后悔以后就是说前面那个点(2)在这里分流了，注意每次找的增广都是一个能实现的图上的一个"瓶颈"，

然后点(2)分流，实际上是给路(2->5)1单位，给路(2->4)1单位，然后路(3->4)往点4运了1单位，4->6流向6就是2单位；

贴一发DINIC的模板；

邻接矩阵版本：

const int INF=0x3f3f3f3f;const int N=1e3+10;int ma[N][N];int dis[N];int q[N*100],h,r;int n,m,ans;bool BFS(){    int i,j;    memset(dis,-1,sizeof(dis));    dis[1]=0;    h=0,r=1;    q[1]=1;    while(h<r)    {        j=q[++h];        for(i=1;i<=n;i++)        {            if(dis[i]<0&&ma[j][i]>0)            {                dis[i]=dis[j]+1;                q[++r]=i;            }        }    }    if(dis[n]>0)        return true;    return false;}int DFS(int x,int low){    int i,a=0;    if(x==n)        return low;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        if(ma[x][i]>0&&dis[i]==dis[x]+1&&(a=DFS(i,min(low,ma[x][i]))))        {            ma[x][i]-=a;            ma[i][x]+=a;            return a;        }    }    return 0;}void DINIC(){    int tans;    ans=0;    while(BFS())    {        while(tans=DFS(1,INF))            ans+=tans;    }    printf("%d\n",ans);}

前向星版本：HDU（3549）

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef __int64 LL;const int INF=0x3f3f3f3f;const int N=2050;int level[N];int q[N],h;int n,m,ans;struct asd{    int to;    int w;    int next;};asd edge[2500000];int head[2500000],tol;bool BFS(int s,int t){   int i,k;   int top;   memset(level,0,sizeof(level));   level[s]=1;   h=0;   q[h++]=s;    for(int i=0;i<h;i++)    {        top=q[i];        if(top==t)            return true;        for(k=head[top];k!=-1;k=edge[k].next)        {            if(!level[edge[k].to]&&edge[k].w>0)            {                q[h++]=edge[k].to;                level[edge[k].to]=level[top]+1;            }        }    }    return false;}int DFS(int now,int maxw,int t){    int w,k,ret=0;    if(now==t)        return maxw;    for(k=head[now];k!=-1;k=edge[k].next)    {        if(edge[k].w>0&&level[edge[k].to]==level[now]+1)        {            w=DFS(edge[k].to,min(maxw-ret,edge[k].w),t);            edge[k].w-=w;            edge[k^1].w+=w;            ret+=w;            if(ret==maxw)                return ret;        }    }    return ret;}void DINIC(){    ans=0;    while(BFS(1,n))        ans+=DFS(1,INF,n);    printf("%d\n",ans);}void add(int a,int b,int c){    edge[tol].w=c;    edge[tol].to=b;    edge[tol].next=head[a];    head[a]=tol++;}int main(){    int T,cas=1;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        int u,v,x;        tol=0;        memset(head,-1,sizeof(head));        for(int i=1;i<=m;i++)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&x);            add(u,v,x);            add(v,u,0);        }        printf("Case %d: ",cas++);        DINIC();    }    return 0;}

SAP 最大流 双向图模板

//#include <bits/stdc++.h>#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<map>#include<queue>#include<cmath>#include<algorithm>typedef long long LL;using namespace std;//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")/*
给出起点，终点，边数。
然后双向边（u，v，w）
求最大流；
 */const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MAXN = 110;//点数的最大值const int MAXM = 100010;//边数的最大值struct Edge{    int to, next, cap, flow;}edge[MAXM];//注意是MAXMint tol;int head[MAXN];int gap[MAXN], dep[MAXN], pre[MAXN], cur[MAXN];void init(){    tol = 0;    memset(head, -1, sizeof(head));}//加边，单向图三个参数，双向图四个参数void addedge(int u, int v, int w, int rw = 0){    edge[tol].to = v; edge[tol].cap = w; edge[tol].next = head[u];    edge[tol].flow = 0; head[u] = tol++;    edge[tol].to = u; edge[tol].cap = rw; edge[tol].next = head[v];    edge[tol].flow = 0; head[v] = tol++;}//输入参数：起点、终点、点的总数//点的编号没有影响，只要输入点的总数int sap(int start, int end, int N){    memset(gap, 0, sizeof(gap));    memset(dep, 0, sizeof(dep));    memcpy(cur, head, sizeof(head));    int u = start;    pre[u] = -1;    gap[0] = N;    int ans = 0;    while (dep[start] < N)    {        if (u == end)        {            int Min = INF;            for (int i = pre[u]; i != -1; i = pre[edge[i ^ 1].to])                if (Min > edge[i].cap - edge[i].flow)                    Min = edge[i].cap - edge[i].flow;            for (int i = pre[u]; i != -1; i = pre[edge[i ^ 1].to])            {                edge[i].flow += Min;                edge[i ^ 1].flow -= Min;            }            u = start;            ans += Min;            continue;        }        bool flag = false;        int v;        for (int i = cur[u]; i != -1; i = edge[i].next)        {            v = edge[i].to;            if (edge[i].cap - edge[i].flow && dep[v] + 1 == dep[u])            {                flag = true;                cur[u] = pre[v] = i;                break;            }        }        if (flag)        {            u = v;            continue;        }        int Min = N;        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)            if (edge[i].cap - edge[i].flow && dep[edge[i].to] < Min)            {                Min = dep[edge[i].to];                cur[u] = i;            }        gap[dep[u]]--;        if (!gap[dep[u]])return ans;        dep[u] = Min + 1;        gap[dep[u]]++;        if (u != start) u = edge[pre[u] ^ 1].to;    }    return ans;}int m, n, s, t;int a, b, c;int main(){    int T, cases = 1;    scanf("%d", &T);    while (T--)    {        init();        scanf("%d", &n);        scanf("%d%d%d", &s, &t, &m);        while (m--)        {            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);            if (a != b)            {                addedge(a, b, c, c);            }        }        int ans = sap(s, t, n);        printf("Case %d: %d\n", cases++, ans);    }    return 0;}