关于秩的等式与不等式总结

回归到秩的本质：组成矩阵的线性无关的向量个数。

Amxn本身

1）0≤r(A)≤min{m,n}

m决定了阶梯向下的数目，n决定了向右的数目，较小的值决定了总数目的最大值。

2）r(kA)=r(A)

倍乘不改变秩的大小

3）r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)

这是一个可以考察的证明。
思路：构造Ax=0;ATAx=0
若同解，则命题得证。
若α是Ax=0的任一解，Aα=0,则ATAα=0也是ATAx=0的解。
若β是ATAx=0的任一解，ATAβ=0,左乘一个βT,则βTATAβ=0→(Aβ)TAβ=0→||Aβ||2=0→Aβ=0所以，β是Ax=0的解。

这是一个很酷的性质。转置矩阵像是原矩阵的最好的朋友，不改自己的脊梁。因此两个内核相同的矩阵乘到一起仍是同样的秩。

4）r(An)=r(An+1)=r(An+2)...;A必须是可逆矩阵
举个A不是可逆矩阵的例子：
A2=⎡⎣⎢⎢000000800⎤⎦⎥⎥→A3=⎡⎣⎢⎢000000000⎤⎦⎥⎥
可见：r(A2)=1,r(A3)=0

5）关于A+B: r(A+B)≤r(A)+r(B)

6）这是本篇文章的起因；关于A∗

r(A∗)=⎧⎩⎨⎪⎪n, 1, 0,r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1

|A∗|=|A|n−1,这个很容易证明：AA∗=|A|E→|AA∗|=|A||A∗|=|A|n→|A∗|=|A|n−1
当|A| 不等于0时，伴随矩阵必然可逆。

当r(A)<n−1,就意味着任意n-1阶子式全为0，由伴随矩阵的组成成分Aij=0，所以r(A∗)=0

当r(A)=n−1时，|A|=0,AA∗=0→r(A)+r(A∗)≤n→r(A∗)≤1
又因为存在n-1阶子式不为0，则A∗一定不为0，于是r(A∗)≥1
综合得到r(A∗)=1

待补充AB形式的秩的不等式。