【字符串系列】最长上升子序列（LIS）

LIS（Longest increasing subsequence） 主要有O(nlogn)和O(n^2)两种解法，本博文主要介绍O(nlogn)解法，顺便提一下O(n^2)。

首先说一下O(n^2)解法的思路，假设一个数组a[n]，定义dp[i]为以a[i]结尾的LIS的值，那么对于a[i]，有dp[i]=max{dp[k],k∈[1,i-1]且a[k]<a[i]}+1，迭代求解，dp[n]就是最终结果

下面解释一下O(nlogn)的解法：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是

3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于

这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到

O(logn)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(nlogn)～！

解释摘抄自：http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903

如果看懂上面的解释的话，那么总结地来说，做法就是：假设原数组为a，定义一个d数组，对于a[i]，在数组d二分查找，找到一个k位置，使得d[k-1]<a[i]，d[k]>a[i]，用a[i]替换d[k]，如果a[i]大于d数组的所有数，则插入到d数组，如果a[i]小于d数组的所有数，则替换d[0]，就这样迭代下去，最终结果就是d数组的长度。

再简单的来说就是通过二分查找，找不到的时候返回比它大的第一个数的位置，然后替换。这个二分查找的模板可以参考我的另一篇文

章：http://blog.csdn.net/qq_22497299/article/details/52594820

hdu1025（模板题）

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<algorithm>#include<cstdlib>#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int arr[500005],res[500005],n,ans,time=0;int search(int a, int b, int k){int mid;while(a<=b){mid = (a+b)/2;if(k>res[mid]) a = mid+1;else b = mid-1;}return a;}void LIS(){int t;res[1] = arr[1];ans = 1;for(int i=2;i<=n;i++){t = search(1, ans, arr[i]);if(res[t] >= arr[i]) res[t] = arr[i];else res[++ans] = arr[i];}    if(ans==1)printf("Case %d:\nMy king, at most 1 road can be built.\n\n",++time);    elseprintf("Case %d:\nMy king, at most %d roads can be built.\n\n",++time,ans);}int main(){//freopen("input.txt","r",stdin);int a,b;while(scanf("%d",&n)!=EOF){memset(res,0,sizeof(res));for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d%d",&a,&b);arr[a] = b;}LIS();}return 0;}

hdu1950（还是模板题）

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<algorithm>#include<cstdlib>#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int dp[40005],arr[40005];int n,p,t;int search(int a, int b, int k){int mid;while(a<=b){mid = (a+b)/2;if(k>dp[mid]) a = mid + 1;else b = mid - 1;}return a;}void LIS(){memset(dp,0,sizeof(dp));int ans = 1;dp[1] = arr[1];for(int i=2;i<=p;i++){int t = search(1,ans,arr[i]);if(dp[t]>=arr[i]) dp[t] = arr[i];else dp[++ans] = arr[i];}cout<<ans<<endl;}int main(){//freopen("input.txt","r",stdin);cin>>n;while(n--){cin>>p;for(int i=1;i<=p;i++){scanf("%d",&t);arr[i] = t;}LIS();}return 0;}

 hdu4521

 变形LIS问题，题意是求相隔d个数的最长上升子序列，多用一个数组，记录在i点时最长的递增子序列长度，采用延迟更新的方法，在i位置时更新i-d的位置

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int n,d,arr[100005],dp[100005],mark[100005];int search(int a, int b, int k){int mid;while(a<=b){mid = (a+b)/2;if(k>dp[mid]) a = mid+1;else b = mid-1;}return a;}void LIS(){memset(dp,INF,sizeof(dp));int ans = 0;for(int i=1;i<=n;i++){mark[i] = search(1,ans,arr[i]);if(mark[i]>ans)ans = mark[i];if(i-d>0 && dp[mark[i-d]]>arr[i-d])dp[mark[i-d]] = arr[i-d];}cout<<ans<<endl;}int main(){//freopen("input.txt","r",stdin);while(scanf("%d%d",&n,&d)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&arr[i]);}LIS();}return 0;}