Fast Walsh-Hadamard Transform (快速沃尔什变换)

做了一下（bestcoder#88）HDU 5909 ,发现是个树形dp。不小心写歪了就吃一个TLE。这个树形dp的复杂度是O（n*m^2），其实这个复杂度也能卡过吧。听说这里可以将O（m^2）优化成O（m*logm）,这里就用到了FWT，快速沃尔什变换，然而我并不懂。所以这几天看了下 Fast Walsh-Hadamard Transform ，感觉挺有趣的（骗你的），根据一位远古神犇的博客写了一些。

具体为什么是对的我还没有完全理清，大概就是个奇葩的构造吧……

Fast Walsh-Hadamard Transform 就是用于解决一类卷积问题的方法。大概如下：

其中指任一二元逻辑位运算。

一些基础的想法：
为了加速这个运算，我们还是需要用一些类似FFT的东西。
注意到位运算都是有位独立性的，那么每次我们只考虑某一位？
不妨假设：

那么，我们的目标就是求出：

假如构造了一个变换 ，满足：

且可以在较短时间内进行变换及其逆变换，那么我们的目标就可以实现了。
似乎便不能继续往下走了，那我们具体情况具体分析。

XOR

当指异或运算的时候，即 SRM518 Nim 那题中所需要的方法。
此时：

接下来怎么来找变换 ？其实我并不知道这个变换是怎么找到的（可能哪个无聊的正好构造出来了？或者从很小的情况中顺藤摸瓜出来了？）。
但是这个变换确实存在，且形式比较漂亮。

虽然不知道这个是怎么构造出来的，不过我们还是可以很轻易地验证的。

AND

当指与运算的时候，也是可以做的。
变换为：

同样轻易可验证。

OR

当指或运算的时候，可以类比于与运算的变换：

XNOR,NAND,NOR

当指异或非运算、与非运算、或非运算时。
我们可以将 直接用异或运算、与运算、或运算的方法求出来，然后将互反的两位交换即可。

代码：
这里只贴一个与运算的代码，别的运算都可以类似实现。

void FWT( ll X[], int l, int r, int v ) {    if ( l == r ) return;    int m = ( l + r ) >> 1;    FWT( X, l, m, v ); FWT( X, m + 1, r, v );    FOR ( i, 0, m - l ) {        X[ l + i ] += X[ m + 1 + i ] * v;    }}

模板：

void FWT(int a[],int n)  {      for(int d=1;d<n;d<<=1)          for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)              for(int j=0;j<d;j++)              {                  int x=a[i+j],y=a[i+j+d];                  a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;                  //xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;                  //and:a[i+j]=x+y;                  //or:a[i+j+d]=x+y;              }  }    void UFWT(int a[],int n)  {      for(int d=1;d<n;d<<=1)          for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)              for(int j=0;j<d;j++)              {                  int x=a[i+j],y=a[i+j+d];                  a[i+j]=1LL*(x+y)*rev%mod,a[i+j+d]=(1LL*(x-y)*rev%mod+mod)%mod;                  //xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;                  //and:a[i+j]=x-y;                  //or:a[i+j+d]=y-x;              }  }  void solve(int a[],int b[],int n)  {      FWT(a,n);      FWT(b,n);      for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;      UFWT(a,n);  }