jzoj 4819. 【NOIP2016提高A组模拟10.15】算循环 数学+逆元

题意：给出n和m的值，要求计算tmp的值是多少。

for (int i=1;i<=n;i++)        for (int j=1;j<=m;j++)            for (int k=i;k<=n;k++)                for (int l=j;l<=m;l++)                    for (int x=i;x<=k;x++)                        for (int y=j;y<=l;y++) tmp++;

n,m<=1018

分析：把题目抽象成一个n*m的矩阵，那么每个点(i,j)被计算的次数就是i*j*(n-i+1)*(m+j-1)
那么答案就是∑ni=1∑mj=1i∗j∗(n−i+1)∗(m−j+1)
然后我们可以先O(n)预处理出w=∑ni=1i∗(n−i+1)
那么就可以O(n)枚举j然后求出答案。
我们发现把把上面式子展开后就变成了∑ni=1i∗n+i∗i+i
我们发现∑ni=1i∗n=n2∗(n+1)/2
∑ni=1i∗i=n∗(n+1)∗(2∗n+1)/6
那么就可以O(1)求出w，同理也可以用O(1)的时间复杂度把答案给求出来。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#define MOD 1000000007#define ll long longusing namespace std;int ksm(int x,int y){    if (!y) return 1;    if (y==1) return x;    int w=ksm(x,y/2);    w=(ll)w*w%MOD;    if (y%2==1) w=(ll)w*x%MOD;    return w;}int main(){    freopen("loop.in","r",stdin);    freopen("loop.out","w",stdout);    ll n,m;    scanf("%lld%lld",&n,&m);    n%=MOD;m%=MOD;    ll w=(ll)n*n%MOD*(n+1)%MOD*ksm(2,MOD-2)-(ll)n*(n+1)%MOD*((n*2+1)%MOD)%MOD*ksm(6,MOD-2)%MOD+(ll)n*(n+1)%MOD*ksm(2,MOD-2)%MOD;    w=(w%MOD+MOD)%MOD;    ll ans=(ll)m*(m+1)%MOD*m%MOD*w%MOD*ksm(2,MOD-2)%MOD-m*(m+1)%MOD*((2*m+1)%MOD)%MOD*w%MOD*ksm(6,MOD-2)%MOD+w*m%MOD*(m+1)%MOD*ksm(2,MOD-2)%MOD;    ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;    printf("%lld",ans);    return 0;}