单调队列优化的多重背包

Decription

　　给定N种物品和一个容量为M的背包，每种物品都有三个属性：价值wi、体积vi、个数ci
　　目标：选择若干个物品装入背包，使其容量和不超过M，并最大化价值和

Solution 1

　　设fi,j表示考虑前i种物品，装入容量为j的背包获得的最大价值
　　状态转移方程如下：
　　

fi,j=max{fi−1,j−kvi+kwi}　(k∈[1,jvi])

　　直接枚举i,j,k的话，时间复杂度应该是O(nmci¯¯¯)

Solution2

　　观察方程
　　

fi,j=fi−1,j−kvi+kwi(k∈[0,jvi])

　　为了方便看，我们令fj表示原来的fi,j，gj表示fi−1,j，v表示vi，w表示wi，c表示ci
　　于是得到
　　

fj=max{gj−kv+kw}　(k∈[0,jvi])

　　接下来是最关键的一步
　　似乎没什么头绪，但我们发现一个性质，就是gi只会被用来更新gi+kv。举个栗子，比如当v=3时有1→4→7→...，其中箭头表示能够更新。我们这样将1到m分组后，假设分出来是是这样的{1,4,7,10,…}{2,5,8,11,…}{3,6,9,12…}。如果我们按照模v的余数分组的话，分出v组来，而各组都是一个等差数列，且公差都等于v，每组之间的转移互相不影响。
　　于是我们就把每一组“抖”出来，单独研究它 的转移。比如我们只研究{2,5,8,11,…}这一组，其通项公式为ja=av+2，其中a∈Z，那么
　　

fav+2=max{gav+2−kv+kw}

　　这样枚举a的话，实际上决策区间就是连续的了，那么问题就变成动态维护最大值，显然用单调队列就好了（单调队列不再啰嗦，感兴趣者可以去看我的sliding window那篇文章）。
　　这里有个小问题，当我们的a增加1的时候，原来的kw应该对应变成(k+1)w，这个直接设一个d，每次a增加时就给d加上w，表示整个队列里的元素都加了w，调用队列中元素时q[l]+d就表示真实值，入队的时候就直接减去一个d就行了
　　综上，时间复杂度优化到O(nm)

Problems

　　hdu 2191，不加优化就能过
　　CodeVS 5429，必须用单调队列优化(题目卡log)

Code

这是hdu2191

//多重背包 单调队列优化 #include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#define maxn 1100#define maxm 1100using namespace std;int N, M, p[maxn], h[maxn], c[maxn], qw[maxm], qn[maxm], f[maxn][maxm];void input(){    int i, j;    scanf("%d%d",&M,&N);    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d%d",p+i,h+i,c+i);}void dp(int *f, int *g, int prize, int height, int c){    int l=1, r=1, d=0, k, a, b, mini;    for(b=0;b<prize;b++)    {        l=1,r=1,qw[r]=g[b],qn[r++]=b;        for(a=0,d=0;a+b<=M;a+=prize,d+=height)        {            while(qw[r-1]+d<=g[a+b] and l<r)r--;            qw[r]=g[a+b]-d,qn[r++]=a+b;            mini=max(0,a+b-prize*c);            while(qn[l]<mini)l++;            f[a+b]=qw[l]+d;        }    }}int main(){    int C, i, j;    scanf("%d",&C);    while(C--)    {        input();        for(i=1;i<=N;i++)dp(f[i],f[i-1],p[i],h[i],c[i]);        printf("%d\n",f[N][M]);    }    return 0;}

这是CodeVS 5429

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#define maxn 7010#define maxm 7010using namespace std;int N, M, p[maxn], h[maxn], c[maxn], qw[maxm], qn[maxm], f[2][maxm];void input(){    int i, j;    scanf("%d%d",&N,&M);    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d%d",p+i,h+i,c+i);}void dp(int *f, int *g, int prize, int height, int c){    int l=1, r=1, d=0, k, a, b, mini;    for(b=0;b<prize;b++)    {        l=1,r=1,qw[r]=g[b],qn[r++]=b;        for(a=0,d=0;a+b<=M;a+=prize,d+=height)        {            while(qw[r-1]+d<=g[a+b] and l<r)r--;            qw[r]=g[a+b]-d,qn[r++]=a+b;            mini=max(0,a+b-prize*c);            while(qn[l]<mini)l++;            f[a+b]=qw[l]+d;        }    }}int main(){    int i, j;    input();    for(i=1;i<=N;i++)dp(f[i&1],f[~i&1],p[i],h[i],c[i]);    printf("%d\n",f[N&1][M]);    return 0;}