诸侯安置 搜索02 empire

这道题目的第一感觉肯定是很像八皇后！！！可是它并不是八后所以我们需要使用一种逆向思维去思考！
题目大家应该都知道了，我就不讲了，这里主要讲思路：
重新描述一下问题，其实就是在一个边长为 2n-1 的正菱形(如上左图为 n＝3的情形)上摆放 k 个棋子，使得任意两个棋子都不在同一行、同一列。试问：这样的摆法共有多少种?

看到这道题目，我们就会立即想起一道经典的老题目：n 皇后问题。这道题目与 n 皇后问题非常相似。但有两个不同点：一是 n 皇后问题可以斜着攻击对方棋子，而本题不能；二是 n 皇后问题是在 n，n 的正方形棋盘上面放置 k 个皇后，而本题却是在一个正菱形上摆放。我们试着先将 n 皇后变为不可斜攻的，再作思考，如果不能够斜着攻击，n 皇后的公式是：(C(k,n))^2*k!。但是本题不是一个正方形，所以这个公式对本题好像没有任何帮助。看来只能够从另外一个角度思考问题了。

首先想到在 2n-1 列中任意取出 k 列进行具体分析，这样一来问题就转化成：有一个长为 k 的数列(无重复元素)，每一个数在一个不定的区间[a,b]当中，第 i 个数一定在区间[ai,bi]之间，求这样的数列有多少种? 如果就是这个问题，那么比较难解决，但若把这个数列放在本题中，就比较简单。

因为题目中任意两个区间都是一种包含关系。可以先把区间按照长度排一下序，就可以看出来，再用乘法原理进行求解即可。但是，n 最多可到 100，k 最多可到 50，穷举要进行 C(50,100)种方案! 显然无法在 1s 内出解!那么怎么办呢?

再继续分析一下问题发现，里面有重叠子问题。如果一个列作为最后一列，且这一列以及前面所有列共放置 p 个诸侯，设有 q 种情况，那么这一列后面的所有列共放置 p+1 个棋子的方案数都要用到 q，从而引用乘法原理。而且在穷举过程中，这一个工作做了许多遍，所以干脆用递推。递推前，先把图形转化为类似右图的形式(即列排序)。
设 f[i,j]表示以第 i 列为最后一列，放置 j 个棋子的总方案数，得出公式：
i-j+1
Σf[i-k][j-1]*(i-j-1+i*2);
k=1
不过还要注意，当 k≥2n-1 时，问题无解。
下面放代码：

#include<stdio.h>   #include<stdlib.h>int dp[5000][5000];int main(){    int i,j,k,n,m;    freopen("empire.in","r",stdin);    freopen("empire.out","w",stdout);      scanf("%d%d",&n,&m);    n=2*n-1;    if(m==0){        printf("1\n");return 0;    }    if(m>=n){        printf("0\n");return 0;    }    for(i=1;i<=n;i++)        if(i%2==1)dp[i][1]=i;        else dp[i][1]=i-1;    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=2;j<=i;j++)            for(k=1;k<=i-j+1;k++){                dp[i][j]+=dp[i-k][j-1]*(i-j+i%2);                dp[i][j]%=504;            }      for(i=m;i<n;i++)  {          dp[n][m]+=dp[i][m];          dp[n][m]%=504;      }      printf("%d\n",dp[n][m]);      return 0;  }