Notes: 线性代数基础回顾

行列式（Determination）：

行列式是只针对方阵而言的。

关于行列式，2阶、3阶行列式的求解：

对于三阶行列式的求解：

可以在旁边多加一个同样的以方便看图。

D = 1*2*（-2） + 2*1*（-3）+ （-4）*（-2）*4 - （-4）*2*（-3）- 4 - 8 = -4 + （-6） + 32 - 24 - 4 - 8 = 22 -24-12 = -14. 

行列式有常见的性质：

1）行列式与其转置行列式相等。

2）对换行列式的两行或者两列，行列式变号。如果行列式某两行、两列相同，行列式为0。

3）把行列式的某一行、一列同乘一个数加到另外一行或者一列，行列式不变。

由2）、3）得知：行列式中，如果一行、一列是另一行、一列的倍数，则该行列式为0.

上述性质与线性方程组的解息息相关。

根据克拉默法则，如果一个线性方程组的系数行列式不等于0，则线性方程组有唯一解。（系数矩阵必须是nxn的方阵，才有行列式，所以over-determined的线性回归不属于这种类型）。

注意上述定理只对系数矩阵做要求，自变量向量的阶数并没有规定。可以有x^2,x^3等。

关于齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义：

所以有：

关于求逆矩阵（Inverse Matrix）：

对于线性方程组的求解，可以使用逆矩阵的方法，关于逆矩阵的定义和性质如下：

而对于伴随矩阵A*的求法如下：

与逆矩阵是否存在相关的非奇异矩阵和奇异矩阵（singular matrix）：

而关于奇异矩阵和非奇异矩阵的定义如下：

矩阵的秩的定义（rank）：

这里我们给矩阵的秩一个非正式的定义：

如果经过了Gaussian Elimination之后的矩阵的非零行数就是矩阵的秩（其实最原始的回答应该是，阶梯矩阵的非零行数）。那什么是阶梯矩阵呢？

例子如下：

那么，矩阵的秩和线性方程以及行列式有什么关系呢？

显而易见，如果一个矩阵是一个满秩方阵，就是说Gaussian Elimination之后的矩阵的非零行个数和未知数相同，方程有唯一解。那么次系数方阵的det就不等于0. 系数方阵也是可逆方阵。是个非奇异方阵。注意，行列式、逆矩阵、非奇异矩阵等都是针对方阵而言的。但秩的话是矩阵都可以求的。

方阵的特征值和特征向量（Eigen Value和Eigen Vector）

对应着，我们可得特征多项式：

观察可知，这个特征多项式是一个齐次线性方程组。想要有非零解，也就是非零特征向量，需要行列式等于0才可以。根据这一性质，可以帮助我们求得行列式：

下面是对应的例题：