线性代数基础

向量

就是有方向的量，只有方向和长度，没有位置信息。我们在考察向量时，总是以世界坐标系的原点，向它所在的方向投射指定的长度。

• 向量加法： 将向量的各项分别相加。
  V1 = (1, 0), V2 = (0.5, 0.5)
  V3 = V1 + V2 = (1, 0) + (0.5, 0.5) = (1.5, 0.5)

• 向量减法： 将向量的各项分别相减。
  V1 = (0.7, 1.5), V2 = (0.5, 0.5)
  V3 = V1 + V2 = (0.7, 1.5) - (0.5, 0.5) = (0.2, 1.0)

• 向量和标量的乘法： 把标量和向量中的每个分量分别相乘。
  V = (1, 2, 2), D = 2
  R = V * D = 2 * (1, 2, 2) = (2, 4, 4)

• 向量和标量的乘法： 把标量和向量中的每个分量分别相乘。
  V = (1, 2, 2), D = 2
  R = V * D = 2 * (1, 2, 2) = (2, 4, 4)

• 向量点积： 发生在向量和向量之间。点积的结果是一个标量值。
  V1 = (1, 0)，V2 = (0.5, 0.86
  点积 = Dot(V1, V2) = V1 * V2 = (1, 0) * (0.5, 0.866) = (1*0.5 + 0*0.866) = 0.5
  **向量点积的几何意义：
  Dot(V1, V2) = ||V1|| * ||V2|| * cos(ɑ)
  cos(ɑ) = Dot(V1, V2) / (|V1|| * ||V2||)**
  一般的情况，只要夹角小于90度，他们的点积总是>0，如果夹角刚好是90度，点积则=0，如果夹角大于90度，点积会是一个负数。

• 向量叉乘： 运算结果还是一个向量。它的运算法则是交叉相乘。
  V1 = (1, 0, 0)，V2 = (0, 1, 0)
  
  
  向量叉乘的几何意义
  两个向量的叉积得到了新的向量，它垂直于原来的两个向量所在平面。当某个向量垂直于一个平面，可以看作这个平面的法向量。
  叉积运算是有顺序的， V1 x V2 和 V2 x V1 的叉积值是不一样的。顺序不同，新的法向量的方向是相反的。

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矩阵

• 矩阵的转置
  矩阵的转置就是把矩阵的行变成列。比如把第一行变成第一列，第二行变成第二列。
  

• 矩阵和标量的乘法
  一个矩阵和标量相乘，就是用标量与矩阵每一个元素依次相乘。得到的矩阵与原矩阵的维度是一样的。
  

• 矩阵和矩阵的乘法
  用第一个矩阵的第一行的每个分量，与第二个矩阵的第一列的分量相乘，将结果相加，得到新的分量。
  
  矩阵与矩阵相乘，其结果与两个矩阵的顺序是有关的，不同的顺序，结果是不一样的。
  两个内部维度不同的矩阵是不能够相乘的。
  一个 N * M阶与S * T阶矩阵相乘，必须满足 M和S维度相同，乘法结果是一个N * T阶矩阵。
  

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