计算任意两个定点的最长路径

原文地址：Longest path between any pair of vertices

已知一个城市连接图，它们之间是通过电缆连接的，这样的话任意两个城市之间都没有环路。我们需要在已知的这个城市图中找到两个城市之间最大长度的电缆。

Input : n = 6          1 2 3  // Cable length from 1 to 2 (or 2 to 1) is 3        2 3 4        2 6 2        6 4 6        6 5 5Output: maximum length of cable = 12

Method 1 (Simple DFS)
方法 1（简单的深度优先搜寻（DFS））

我们可以为这个已知的城市地图建立一个无向图，对于每一个城市都去做DFS并找到最长的电缆。在遍历的过程中，我们寻找可以达到当前城市的最长电缆，如果它的相邻城市不能访问的话，那么就调用DFS，但是如果当前节点所有的相邻城市都访问过了，如max_length以前的值比现在的总长度要小，那么就更新max_length的值。

// C++ program to find the longest cable length// between any two cities.#include<bits/stdc++.h>using namespace std;// visited[] array to make nodes visited// src is starting node for DFS traversal// prev_len is sum of cable length till current node// max_len is pointer which stores the maximum length// of cable value after DFS traversalvoid DFS(vector< pair<int,int> > graph[], int src,         int prev_len, int *max_len,         vector <bool> &visited){    // Mark the src node visited    visited[src] = 1;    // curr_len is for length of cable from src    // city to its adjacent city    int curr_len = 0;    // Adjacent is pair type which stores    // destination city and cable length    pair < int, int > adjacent;    // Traverse all adjacent    for (int i=0; i<graph[src].size(); i++)    {        // Adjacent element        adjacent = graph[src][i];        // If node or city is not visited        if (!visited[adjacent.first])        {            // Total length of cable from src city            // to its adjacent            curr_len = prev_len + adjacent.second;            // Call DFS for adjacent city            DFS(graph, adjacent.first, curr_len,                max_len,  visited);        }        // If total cable length till now greater than        // previous length then update it        if ((*max_len) < curr_len)            *max_len = curr_len;        // make curr_len = 0 for next adjacent        curr_len = 0;    }}// n is number of cities or nodes in graph// cable_lines is total cable_lines among the cities// or edges in graphint longestCable(vector<pair<int,int> > graph[],                                          int n){    // maximum length of cable among the connected    // cities    int max_len = INT_MIN;    // call DFS for each city to find maximum    // length of cable    for (int i=1; i<=n; i++)    {        // initialize visited array with 0        vector< bool > visited(n+1, false);        // Call DFS for src vertex i        DFS(graph, i, 0, &max_len, visited);    }    return max_len;}// driver program to test the inputint main(){    // n is number of cities    int n = 6;    vector< pair<int,int> > graph[n+1];    // create undirected graph    // first edge    graph[1].push_back(make_pair(2, 3));    graph[2].push_back(make_pair(1, 3));    // second edge    graph[2].push_back(make_pair(3, 4));    graph[3].push_back(make_pair(2, 4));    // third edge    graph[2].push_back(make_pair(6, 2));    graph[6].push_back(make_pair(2, 2));    // fourth edge    graph[4].push_back(make_pair(6, 6));    graph[6].push_back(make_pair(4, 6));    // fifth edge    graph[5].push_back(make_pair(6, 5));    graph[6].push_back(make_pair(5, 5));    cout << "Maximum length of cable = "         << longestCable(graph, n);    return 0;}

输出：

Maximum length of cable = 12

时间复杂度：O(V * (V + E))

方法2（更加有效的）

我们可以在 O(V+E)的时间内解决这个问题。下面就是具体的步骤。

1）建立一个距离矩阵dist[]，用无限小初始化矩阵的每一个单元。
2）对所有的定点进行拓扑排序。
3）按照拓扑排序的顺序访问每一个定点u。
…..Do following for every adjacent vertex v of u
………..if (dist[v] < dist[u] + weight(u, v))
……………dist[v] = dist[u] + weight(u, v)
4）返回dist[]中的最大值

因为图中没有负的权重，所以以拓扑顺序处理定点总是会产生最长路径矩阵dist[]，这样dist[u]就是到顶点‘u’的最长路径。

以上的实现方法可以很容易地应用到这个问题。不同点就是边的权重都是非负的，我们需要找到的是整体的最长路径（而不是从开始节点的最长路径）。最后我们返回dist[]中所有值的最大值。

时间复杂度：O(V + E)