最小生成树之Kruskal算法

问题定义

在一个无向连通图中，如果存在一个连通子图，包含原图所有的顶点和部分边，且这个子图不存在回路，则称这个子图为原图的一个生成树。在所有生成树中，边权之和最小的称为最小生成树。

算法原理

下面从数学上证明Kruskal算法的正确性。
在一个连通图中，任意取部分节点属于集合A，剩余部分节点属于集合B。可以证明，此无向连通图的最小生成树必定包含连通两个集合的权值最小的边。
利用反证法，证明过程如下：
因为最小生成树是连通的，所以，集合A和集合B之间必定存在一条边。假设A、B之间权值最小的边为minE，若最小生成树中连通集合A、B的边为E，其中，E > minE，则，将minE替换E，此最小生成树仍为原图的一个生成树，且其边的权值之和要更小，存在矛盾，因此，原命题得证。

算法过程

Kruskal算法步骤如下：

1. 初始每一个节点属于一个集合。
2. 将所有的边按照边权递增顺序遍历，若边的两个顶点分属于不同的集合，则将两个集合合并（并查集实现，见上一篇文章）。此边加入最小生成树。
3. 将所有边遍历结束，若所有的点同属于一个集合，则最小生成树生成成功，否则，原图不存在最小生成树。

举例如下：

典型应用

http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1024
题目很明显，是典型的最小生成树问题。
我的AC代码如下：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define MAX 105typedef struct edge{    int s;    int e;    int cost;}edge;int Tree[MAX] = {0};edge E[MAX];bool cmp(edge a, edge b){    return a.cost < b.cost;}int findRoot(int x){    int tmp = 0;    if(Tree[x] == -1)    {        return x;    }    else    {        tmp = findRoot(Tree[x]);        Tree[x] = tmp;        return tmp;    }}int main(){    int i = 0;    int n = 0;    int m = 0;    int a = 0;    int b = 0;    int sum = 0;    int count = 0;    while(cin >> n)    {        if(n == 0)        {            break;        }        cin >> m;        sum = 0;        count = 0;        for(i = 0; i < MAX; i++)        {            Tree[i] = -1;        }        for(i = 0; i < n; i++)        {            cin >> E[i].s >> E[i].e >> E[i].cost;        }        sort(E, E + n, cmp);        for(i = 0; i < n; i++)        {            a = E[i].s;            b = E[i].e;            a = findRoot(a);            b = findRoot(b);            if(a != b)            {                sum = sum + E[i].cost;                Tree[a] = b;            }        }        for(i = 1; i <= m; i++)        {            if(Tree[i] == -1)            {                count ++;            }        }        if(count <= 1)        {            cout << sum << endl;        }        else        {            cout << "?" << endl;        }    }    return  0;}